控制中的 LMI / 頁面 / Lure 系統的 L2 增益

系統

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+B_{p}p(t)+B_{w}w(t),\\z(t)&=C_{z}x(t)\\p_{i}(t)&=\phi _{i}(q_{i}(t)),i=1,\dots ,n_{p}\\q&=C_{q}x,\\0&\leq \sigma \phi _{i}(\sigma )\leq \sigma ^{2}\ \forall \sigma \in \mathbb {R} \end{aligned}}$

資料

矩陣 $A,B_{p},B_{w},C_{q},C_{z}$.

最佳化問題

以下半定問題應該被解決。

${\begin{aligned}&\min _{\{P\succ 0,\Lambda =diag(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n_{p}})\succeq 0,T=diag(\tau _{1},\dots ,\tau _{n_{p}})\succeq 0\}}\gamma ^{2}\;\\&\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad s.t.\quad {\begin{bmatrix}A^{\top }P+PA+C_{z}^{\top }C_{z}&PB_{p}+A^{\top }C_{q}^{\top }\Lambda +C_{q}^{\top }T&PB_{w}\\B_{p}^{\top }P+\Lambda C_{q}A+TC_{q}&\Lambda C_{q}B_{p}+B_{p}^{\top }C_{q}^{\top }\Lambda -2T&\Lambda C_{q}B_{w}\\B_{w}^{\top }P&B_{w}^{\top }C_{q}^{\top }\Lambda &-\gamma ^{2}I\end{bmatrix}}\preceq 0\\\end{aligned}}$

實現

https://github.com/mkhajenejad/Mohammad-Khajenejad/commit/12a7039f9e3d966e24b43fd58a3cce3725282ed2

結論

值函式返回 Lure 系統 ${\mathcal {L}}_{2}$ 增益的可證明最小上界的平方。

備註

用於證明的 Lyapunov 函式類似於具有未知引數的系統的 Lyapunov 函式。

外部連結

• 最優控制和魯棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 關於控制中 LMI 的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的 LMI 屬性和應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 列出的 LMI。
• 系統與控制理論中的 LMI - Stephen Boyd 關於 LMI 的可下載書籍。