控制中的 LMI/頁面/混合 H2 HInf 最優觀測器

混合 $H_{2}-H\infty$ - 最優狀態估計的目的是設計一個觀測器，最小化來自 $w_{1}$ 到 $z_{1}$ 的閉環傳遞函式的 $H_{2}$ 範數，同時確保來自 $w_{2}$ 到 $z_{2}$ 的閉環傳遞函式的 $H\infty$ 範數低於指定的上限。

系統

考慮具有狀態空間實現的連續時間廣義系統 $P$

{\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+B_{1,1}w_{1}+B_{1,2}w_{2},\\y&=C_{2}x+D_{21,1}w_{1}+D_{21,1}w_{2}\\\end{aligned}}

其中假定 $(A,C_{2})$ 是可檢測的。

資料

作為輸入所需的矩陣是 $A,B_{1},B_{2},C_{2},D_{21},D_{11}$ .

最佳化問題

觀測器增益 L 的設計目標是使閉環傳遞矩陣 $T_{11}(s)$ 從外生輸入 $w_{1}$ 到效能輸出 $z_{1}$ 的 $H_{2}$ 範數最小化，同時確保閉環傳遞矩陣 $T_{22}(s)$ 從外生輸入 $w_{2}$ 到效能輸出 $z_{2}$ 的 $H\infty$ 範數小於 $\gamma _{d}$ ，其中

{\begin{aligned}T_{11}(s)=C_{1,1}(s1-(A-LC_{2}))^{-1}(B_{1,1}-LD_{21,1})\\T_{22}(s)=C_{1,2}(s1-(A-LC_{2}))^{-1}(B_{1,2}-LD_{21,2})+D_{11,22}\end{aligned}}

被最小化。觀測器的形式為

{\begin{aligned}{\dot {\hat {x}}}=A{\hat {x}}+L(y-{\hat {y}}),\\{\hat {y}}=C_{2}{\hat {x}}\\\end{aligned}}

需要設計，其中 $L\in \mathbb {R} ^{n_{x}\times n_{y}}$ 是觀測器增益。

LMI: $H_{\infty }$ 最優觀測器

混合 $H_{2}-H\infty$ -最優觀測器增益是透過求解 $P\in \mathbb {S} ^{n_{x}},G\in \mathbb {R} ^{n_{x}\times n_{y}}$ 和 $\nu \in \mathbb {R} _{>0}$ 合成的，這些變數最小化 $\zeta (\nu )=\nu$ ，受制於 $P>0,Z>0$ 。