A-Level 數學與進階數學/代數表示式

分數

分數是您應該在這個級別上熟練使用的，應該是輕而易舉的。請記住 ${\frac {a+b+c}{x}}={\frac {a}{x}}+{\frac {b}{x}}+{\frac {c}{x}}$ 是正確的，但一般情況下 ${\frac {x}{a+b}}\neq {\frac {x}{a}}+{\frac {x}{b}}$。還需要記住分母不能為零。

因式分解表示式

因式是出現在表示式多個部分的數字或變數；它可以被“提取”以幫助簡化表示式。例如，$ax+ay$ 有一個因子 $a$，因此表示式可以簡化為 $a(x+y)$。

展開表示式

展開表示式基本上是因式分解的逆過程。展開括號時很容易出錯，因此應小心謹慎。一個常見的例子是 $(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy$，許多學生會誤以為它是 $x^{2}+y^{2}$。另一個需要記住的重要公式是平方差公式：$x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)$。

指數

在處理指數時，有一些基本規則需要記住

$a^{1}=a$

$a^{0}=1$

$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$

$a^{m}/a^{n}=a^{m-n}$

$(a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}$

$a^{1/n}={\sqrt[{n}]{a}}$

$a^{-m}={\frac {1}{a^{m}}}$

在學習對數時，我們將重新討論這些概念。

根式

根式是包含平方根的表示式。與指數一樣，根式的基本規則是

${\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}{\sqrt {b}}$

${\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}$

$a={\sqrt {a^{2}}}={\sqrt {a}}{\sqrt {a}}$

$a-b=({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})$

分母有理化

根據定義，平方根是無理數。這使得它們難以處理，尤其是在分數的分母中，當試圖簡化表示式時。為了解決這個問題，我們使用“分母有理化”的過程。為此，我們用同一個數乘以分子和分母，因為 ${\frac {a}{a}}=1$，所以我們避免改變分數的值，但仍然改變了我們正在處理的數字。

示例

為了對 ${\frac {2+{\sqrt {3}}}{\sqrt {6}}}$ 進行分母有理化，完整的計算過程如下

${\frac {2+{\sqrt {3}}}{\sqrt {6}}}={\frac {2+{\sqrt {3}}}{\sqrt {6}}}\times {\frac {\sqrt {6}}{\sqrt {6}}}={\frac {2{\sqrt {6}}+{\sqrt {3}}{\sqrt {6}}}{{\sqrt {6}}{\sqrt {6}}}}={\frac {2{\sqrt {6}}+3{\sqrt {2}}}{6}}$.