計算理論：緊湊集合符號

緊湊集合符號是描述集合中每個元素屬性的實用工具，而不是寫出集合的所有元素。

下表列出了緊湊集合符號所需的所有符號。

符號	含義
x ∈ S	x 是 S 的元素
|	使得
∧	和
∨	或
<	小於
≦	小於或等於
>	大於
≧	大於或等於
A ⊆ B	A 是 B 的子集
A ⊂ B	A 是 B 的真子集
C = A ∪ B	C 是 A 和 B 的並集
C = A ∩ B	C 是 A 和 B 的交集
C = A \ B	C 是 A 和 B 的差集

示例 1

我們可能想要描述一個集合 A，它包含所有大於 10 的自然數。

這意味著我們對 ℕ 的子集感興趣，使得它的每個元素都大於 10。

使用集合符號，這個集合可以描述為

A = {x|x ∈ ℕ ∧ x> 10}

示例 2

這次集合 A 被描述為自然數，它們是 10 的倍數。這可以表示為

A = {10x|x ∈ ℕ}

示例 3

集合 A 的元素是所有偶數，最多包括 12。集合符號允許我們將這個集合寫成 {0,2,4,6,8,10,12}，在這個例子中是可行的。

然而，如果 A 被描述為所有偶數，最多包括 1,000,000，這將非常不切實際！

A = {2x | x ∈ N &and 2x ≦ 1,000,000}

下表解釋了每個表示式是如何與集合 A 元素的英文描述相關聯的。

英文描述...	... 用集合符號表示
x 必須是偶數	2x
使得	2x |
2x 必須是自然數	2x ∈ N
2x 必須小於或等於 1,000,000	2x ≦ 1,000,000

示例 4

集合 A 被描述為所有 3 的自然倍數，小於 5,000。

A = {3x | x ∈ N ∧ 3x < 5,000}

下表解釋了每個表示式是如何與集合 A 元素的英文描述相關聯的。

英文描述...	... 用集合符號表示
x 必須是 3 的倍數	3x
使得	3x |
x 必須是自然數	x ∈ N
3x 必須小於 5,000	3x < 5000

問題 使用集合符號，定義集合 A 為所有能被 4 整除的數字。以下哪些術語適用於 A：可數、不可數、有限、無限。 答案 A = {4x | x ∈ N } 集合 A 是一個可數無限集。

程式設計

並非每種程式語言都提供開箱即用的集合論計算能力。在 Visual Basic 中，它只有在 VB.NET 2008 及更高版本中才可用，使用 LINQ 庫，您必須匯入這些庫才能使其工作

Imports System.Linq
Imports System.Xml.Linq

Module Module1
    Sub Main()

    Dim A() As Integer = {0,2,4,6,8,10,12}
    Dim B() As Integer = {0,3,6,9,12}

    Dim unionAB = A.Union(B)
    Console.WriteLine("Union of A and B:")
    For Each n In unionAB
       Console.WriteLine(n)
    Next

    Dim differenceAB = A.Except(B) 'Except performs the same function as Difference
    Console.WriteLine("Difference of A and B:")
    For Each n In differenceAB
       Console.WriteLine(n)
    Next

    Dim intersectAB = A.Intersect(B)
    Console.WriteLine("Intersection of A and B:")
    For Each n In intersectAB
       Console.WriteLine(n)
    Next

    End Sub
End Module