計算機硬體基礎：布林恆等式

有時，非常複雜的邏輯閘組合可以被簡化，以降低成本並提高電路速度。一個快速的方法是透過布林恆等式。布林恆等式是快速規則，允許您簡化布林表示式。對於下面描述的所有情況

A = It is raining upon the British Museum right now (or any other statement that can be true or false)
B = I have a cold (or any other statement that can be true or false)

恆等式	解釋	真值表
$A.A=A$	在下雨 AND 下雨 等同於 下雨	$A$ $A$ $A.A$ 0 0 0 1 1 1
$A.{\overline {A}}=0$	在下雨 AND 不下雨 同時發生是不可能的，因此該語句始終為假	$A$ ${\overline {A}}$ $A.{\overline {A}}$ 0 1 0 1 0 0
$1+A=1$	2+2=4 OR 下雨。 因此，無論是否下雨，2+2=4 都是成立的，不可能使方程變為假	1 $A$ $1+A$ 1 0 1 1 1 1
$0+A=A$	1+2=4 OR 下雨。 因此，1+2=4 的語句並不重要，唯一決定該語句真假的是是否下雨	$0$ $A$ $0+A$ 0 0 0 0 1 1
$A+A=A$	在下雨 OR 下雨 等同於 下雨	$A$ $A$ $A+A$ 0 0 0 1 1 1
$A+{\overline {A}}=1$	在下雨 OR 不下雨 始終為真	$A$ ${\overline {A}}$ $A+{\overline {A}}$ 0 1 1 1 0 1
$0.A=0$	1+2=4 AND 下雨。 1+2=4 是不可能的，因此該方程始終為假	$0$ $A$ $0.A$ 0 0 0 0 1 0
$1.A=A$	2+2=4 AND 下雨。 該語句完全取決於是否下雨，因此我們可以忽略 2+2=4 部分	$1$ $A$ $1.A$ 1 0 0 1 1 1
$A+B=B+A$	下雨 OR 我感冒，與說 我感冒 OR 下雨 是相同的。	$A$ $B$ $A+B$ $B+A$ 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
$A.B=B.A$	下雨 AND 我感冒，與說 我感冒 AND 下雨 是相同的。	$A$ $B$ $A.B$ $B.A$ 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1
$A+(A.B)=A$	下雨 OR (下雨 AND 我感冒)。如果下雨，則等式兩邊都為真。或者，如果不下雨，則等式兩邊都為假。因此，一切都取決於 A，我們可以用 A 代替整個式子。或者，我們可以使用布林代數公式進行運算。 $A+(A.B)=(1.A)+(A.B)$ 使用恆等式規則 $1.A=A$ $(1.A)+(A.B)=A.(1+B)$ 將等式兩邊共同的 A 提出來。 $A.(1+B)=A.1$ 使用恆等式規則 $1+B=1$ $A.1=A$ 使用恆等式規則 $1.A=A$	$A$ $B$ $A.B$ $A+(A.B)$ 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1
$A.(A+B)=A$	下雨並且（下雨或者我感冒）。如果下雨，那麼等式兩邊都為真。或者如果不下雨，那麼兩邊都為假。因此，一切都依賴於 A，我們可以用 A 來代替整個表示式。或者我們可以玩玩布林代數方程 $A.(A+B)=(0+A).(A+B)$ 使用恆等式規則 $0+A=A$ $(0+A).(A+B)=A+(0.B)$ 將等式兩邊公有的 A 提出來 $A+(0.B)=A+0$ 使用恆等式規則 $0.B=0$ $A+0=A$ 使用恆等式規則 $0+A=A$	$A$ $B$ ${A+B}$ $A.(A+B)$ 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1

簡化簡單布林表示式的例子。

例子：簡化布林表示式 讓我們試著簡化以下內容 $A+B+B$ 使用規則 $B+B=B$ $A+B+B=A+B$ 嘗試一個稍微複雜一點的例子 $(A.0)+B$ 首先處理括號 $(0)+B$ as $0.A=0$ $B$ as $0+B=B$ $(A.0)+B=B$

練習：簡化布林表示式 $A+0$ 答案 $A$ $A.0$ 答案 $0$ $E+1$ 答案 $1$ $A+A+B+B+C$ 答案 $A+B+C$ $(A.B)+(A.B)$ 答案 $A.B$ $A.A.B.B.C$ 答案 $A.B.C$ $(A+{\overline {A}}).B$ 答案 $(A+{\overline {A}}).B$ 應用恆等式 $A+{\overline {A}}=1$ $(1).B$ 應用恆等式 $1.B=B$ $B$

有時我們需要結合布林恆等式和方程的“乘法”來進行運算。這並不總是簡單，所以請準備好寫真值表來檢查您的答案。

例子：簡化布林表示式 $(A.B)+A$ 我們接下來可以做什麼呢？讓我們看看一些恆等式。 $(A.B)+(A.1)$ 使用恆等式 A = A.1 $A.(B+1)$ 從兩邊取公分母 $A.1$ 因為 B+1 = 1 $A$ 現在讓我們來看一個需要“乘法”的例子。 $({\overline {A}}.B)+A$ $({\overline {A}}+A).(B+A)$ 將它乘開 $1.(B+A)$ 消除左側，因為 $({\overline {A}}+A)=1$ $B+A$ 使用恆等式 $1.Q=Q$

練習：簡化布林表示式 $(A.{\overline {B}})+B$ 答案 $(A.{\overline {B}})+B$ $(A+B).({\overline {B}}+B)$ multiplying out $(A+B).(1)$ $(A+B)$ $(A+B).{\overline {A}}$ 答案 這個需要“乘法”來進行運算。 $(A+B).{\overline {A}}$ $(A.{\overline {A}})+({\overline {A}}.B)$ $0+({\overline {A}}.B)$ $B.{\overline {A}}$ $B.(A+A.B)$ 答案 這個需要“乘法”來進行運算。 $B.(A+(A.B))$ treat the brackets first and the AND inside the brackets first $(B.A)+(B.A.B)$ multiply it out $(B.A)+(A.B)$ as $B.A.B=A.B$ $A.B$ as $(B.A)=(A.B)$ $(A+B).(A+A)$ 答案 $(A+B).(A+A)$ $(A+B).A$ as $A=A+A$ $(A+B).(A+0)$ as $A=A+0$ $A+(B.0)$ take A out as the common denominator $A$ as $(B.0)=0$ $(A.{\overline {B}})+{\overline {A}}$ 答案 這個需要“乘法”來進行運算。 $(A.{\overline {B}})+{\overline {A}}$ $(A+{\overline {A}}).({\overline {B}}+{\overline {A}})$ $1.({\overline {B}}+{\overline {A}})$ ${\overline {B}}+{\overline {A}}$ $(A.B)+{\overline {A}}$ 答案 這個需要“乘法”來進行運算。 $(A.B)+{\overline {A}}$ $(A+{\overline {A}}).(B+{\overline {A}})$ multiplied out $(1).(B+{\overline {A}})$ as $(A+{\overline {A}})=1$ $B+{\overline {A}}$ as $1.Q=Q$ $(A.{\overline {B}})+(A.B)$ 答案 從兩邊提取公因數，$A$ $A.({\overline {B}}+B)$ As ${\overline {B}}+B=1$ Then $A.({\overline {B}}+B)=A.1$ As $A.1=A$ Then $(A.{\overline {B}})+(A.B)=A$