資料表示基礎：二進位制小數

二進位制小數 - 使用定點表示法

到目前為止，我們只關注了整數，我們需要了解計算機如何表示分數。

來自規範：計算原理簡介 瞭解帶小數部分的數字如何以 二進位制定點形式表示，使用給定位數 二進位制浮點形式表示，使用給定位數。 能夠為每種表示形式進行轉換，從 給定位數的十進位制轉換為二進位制 給定位數的二進位制轉換為十進位制。

你應該在小學學過十進位制小數是如何工作的

10	1		${\frac {1}{10}}$	${\frac {1}{100}}$
$10^{1}$	$10^{0}$		$10^{-1}$	$10^{-2}$
1	2	.	7	5

如你所見，列標題已擴充套件到 $10^{-1}={\frac {1}{10}}$ 和 $10^{-2}={\frac {1}{100}}$。我們可以在二進位制中做同樣的事情，列標題為 $2^{-1}={\frac {1}{2}}$，$2^{-2}={\frac {1}{4}}$，依此類推。因此，在二進位制點後有 4 位的 8 位二進位制表示的數字 12.75 為 8 + 4 + 0.5 + 0.25

8	4	2	1		${\frac {1}{2}}$	${\frac {1}{4}}$	${\frac {1}{8}}$	${\frac {1}{16}}$
$2^{3}$	$2^{2}$	$2^{1}$	$2^{0}$		$2^{-1}$	$2^{-2}$	$2^{-3}$	$2^{-4}$
1	1	0	0	.	1	1	0	0

請注意，對於小數點後相同位數，**二進位制小數提供的精度較低**。它只能取4個不同的值，而十進位制數可以用兩位數表示100個不同的值。您很快就會看到這可能會導致什麼問題。

示例：使用**定點**表示法將十進位制數轉換為二進位制小數 我們將使用下面的表格將數字6.125轉換為二進位制小數 8 4 2 1 ${\frac {1}{2}}$ ${\frac {1}{4}}$ ${\frac {1}{8}}$ ${\frac {1}{16}}$ 0 1 1 0 . 0 0 1 0 這看起來很簡單，因為6.125 = 4 + 2 + 0.125，但這個更有趣的數字呢：6.4 8 4 2 1 ${\frac {1}{2}}$ ${\frac {1}{4}}$ ${\frac {1}{8}}$ ${\frac {1}{16}}$ 0 1 1 0 . 0 1 1 0 但這看起來不對？！這個數字不正確，因為它只達到4 + 2 + 0.25 + 0.125 = 6.375，我們需要更多位來表示二進位制小數位。但是，計算機可能會限制您可以使用的位數，因此我們將使用最接近目標數字的數字。您可能會對此感到有點惱火，但不用擔心，每次嘗試用十進位制小數表示${\frac {1}{3}}$時，您都會做出這種折衷，例如0.33333333。

所以您可能會問，如果計算機在處理分數方面如此困難，它如何進行復雜的數學運算。我們到目前為止看到的答案只使用了1個位元組，計算機可以使用比這多得多的空間。它們還可以透過兩種方式操作給定的位數

• 增加位數以增加數字範圍
• 增加小數點後的位數以提高精度

在實踐中，它們還會使用一些巧妙的技術，例如**浮點數**（見下文）。

練習：從十進位制轉換為二進位制小數 現在自己嘗試一些問題，看看您能做到什麼程度。請記住，如果小數位沒有足夠的位數，請寫下最接近目標數字的數字。在每種情況下，使用8位二進位制數，小數點後有4位 7.5 答案 0111.1000 4.5625 答案 0100.1001 1.6 答案 0001.1010（這是我們能得到的最近值） 3.3333333 答案 0011.0101（這是我們能得到的最近值） 嘗試將這些二進位制小數轉換為十進位制 0111.0100 答案 7.25 1011.1001 答案 11.5625（注意，我們將此視為正數，有些人可能已經瞭解了**二進位制補碼**，如果您以前從未聽說過，請不要擔心，我們很快就會講到） 要將其解釋為二進位制補碼數，讓我們將其取反：0100.0111 = 4 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = -4.4375 如果我想增加儲存在定點二進位制數中的數字範圍，我應該怎麼做？ 答案 增加小數點前的位數 如果我想提高儲存在定點二進位制數中的數字精度，我應該怎麼做？ 答案 增加小數點後的位數