實數：規範化

在儲存數字時，我們需要以最有效的方式使用給定的空間。例如，如果我們取一個十進位制浮點數，例如

 $6.63_{10}\times 10^{-34}$ (Planck's constant)

如果我們將它重寫為

 $0.0663_{10}\times 10^{-32}$ (Planck's constant)

那麼你可以看到表示法多佔了 2 個字元，即兩個額外的 0，即使它代表的是完全相同的數字。當你不擔心數字佔用多少字元時，這可能是可以接受的，但在二進位制和有限的計算機記憶體中，數字佔用的空間非常重要。我們需要儘可能高效的表示法。在給定的位數內，數字的規範化表示將以可能的最高精度顯示數字。總之，規範化數字

• 只給出數字的一種表示。
• 節省空間。
• 在給定的位數內給出數字最精確的表示。

一般來說：當處理二進位制浮點數時，必須確保前兩位不同。也就是說

$0.1$
$1.0$

絕對 不

$1.1$
$0.0$

讓我們看一個例子。取一個二進位制浮點數

$0.010\;0000\;00\;\mid \;00\;0011$

我們可以看到這個數字以 $0.01$ 開頭。我們需要將它更改為 $0.1$ 才能使它規範化。為此，我們需要將小數點向右移動一位，為了保留未規範化數字所代表的相同數字，我們需要相應地更改指數。將小數點向右移動一位來規範化數字，我們需要將指數更改為向左移動一位以進行補償。因此從當前指數中減去一

$0.100\;0000\;00\;\mid \;00\;0010$

為了確保你已正確規範化，請檢查

$0.010\;0000\;00\;\mid \;00\;0011=0.100\;0000\;00\;\mid \;00\;0010$

讓我們嘗試一個更復雜的例子

$1.110\;0000\;00\;\mid \;11\;1110$

為了使尾數規範化，我們需要將小數點向右移動兩位。為了保持與原始浮點數相同的數值，我們需要將指數調整為小兩位。

$1.000\;0000\;00\;\mid \;11\;1100$

現在檢查新的規範化值是否與原始值相同。

總結：規範化數字 規範化左側（尾數）。 記錄它規範化所需要的“彈跳”次數。 使用以下公式計算規範化數字的指數：原始指數 – “彈跳”。 規範化數字以兩個不同的位開頭。 確保規範化不會改變尾數的符號。 規範化在給定的位數內提供了最大精度。 規範化確保每個數字只有一個表示

練習：規範化問題 以下數字是否規範化？ 0.010000000 111111 答案 否，因為它以 0.0 開頭 0.111111000 111111 答案 是，因為它以 0.1 開頭 1.100000010 111111 答案 否，因為它以 1.1 開頭 規範化以下數字 0 010000000 111111 答案 0.010000000 111111 -> 00.10000000 111111 向右移動一位 111111 - 1 = -1 -1 = -2 = 000010 (+2) = 111110 (-2) 00.10000000 111110 = 0.100000000 111110 0 001101000 000110 答案 0.001101000 000110 -> 000.1101000 000110 向右移動兩位 000110 - 2 = 6 - 2 = 4 = 000100 (+4) 000.1101000 000100 = 0.110100000 000100 1 111111010 000011 答案 1.111111010 000011 -> 1111111.010 000011 向右移動六位 000011 - 6 = 3 - 6 = -3 = 111101 (-3) 111111.010 111101 = 1.01000000 111101