單元 1.4.3 布林代數

邏輯閘

每列上方的字母對應於輸入和輸出；通常，字母表的最初兩個連續字母是輸入，然後是其右邊的字母是輸出，例如，在與門中，A & B 是輸入，而 Q 是輸出。

與門

與門。

真值表

A	B	Q
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

或門

或門。

真值表

C	D	R
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

非門。

非門

真值表

E	S
0	1
1	0

與非門

與非門。

真值表

F	G	T
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

或非門

真值表

或非門。

H	I	U
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

異或門。

異或門

真值表

J	K	V
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

布林代數

符號

OCR 將在考試中使用數學家風格的語法，但轉換為工程師語法很簡單，並且使簡化代數變得更容易。

語句	語法（數學家）	語法（工程師）	語法（工程師）
A 且 B	$A\land B$	$A.B$	$A\bot B$
A 或 B	$A\lor B$	$A+B$	$A\vdash B$
非 A	$\neg A$	${\overline {A}}$	${\overline {A}}$
A 異或 B	$A\veebar B$	$A\oplus B$	$A\oplus B$

布林代數定律

交換律

$A+B=B+A$

$A.B=B.A$

結合律

$(A+B)+C=A+(B+C)$

$C(A.B)=A(B.C)$

分配律

$A.(B+C)=A.B+A.C$

$A+(B.C)=(A+B).(A+C)$

恆等律

$A+A=A$

$A.A=A$

否定律

${\overline {A}}={\overline {A}}$

$A={\overline {\overline {A}}}$

吸收律

$A+(A.B)=A$

$A.(A+B)=A$

冗餘律

$A+A.B=A$

$A.(A+B)=A$

德摩根定律

${\overline {A.B}}={\overline {A}}+{\overline {B}}$

${\overline {A+B}}={\overline {A}}.{\overline {B}}$

其他定律

$A+0=A$

$A.0=0$

$A+1=1$

$A.1=A$

${\overline {A}}+1=1$

${\overline {A}}+A=1$

${\overline {A}}.A=0$

$A+{\overline {A}}.B=A+B$

$A({\overline {A}}+B)=A.B$

卡諾圖

這些圖使用模式識別來簡化布林表示式。所有可能的輸出都對映到可能的輸入表中。

例如：

一個具有 4 個變數 A、B、C 和 D 的卡諾圖。

要解決此圖，首先必須建立彩色方塊。任何值為 1 的二進位制值都將分組在一起，形成 1、2、4、8 等組。然後檢視每個彩色塊並確定哪些元件沒有改變。

在金色塊（左側方塊）中，C 和 A 的值沒有從 0 改變，因此此塊是

${\overline {C}}.{\overline {A}}$

在棕色塊（左側矩形）中，A 和 B 的值沒有改變，因此此塊是

${\overline {A}}.{\overline {B}}$

在紅色塊（右側方塊）中，A 和 C 的值沒有改變，因此此塊是

$A.{\overline {C}}$

在綠色塊（右側矩形）中，A 和 B 的值沒有改變，因此此塊是

$A.{\overline {B}}$

在灰藍色塊（中間中心）中，B、C 和 D 的值沒有改變，因此此塊是

$B.C.D$

最後，在底部的紫色/藍色塊中，B、C 和 D 的值沒有改變，因此此塊是

$B.C.{\overline {D}}$

然後可以將所有這些值組合在一起

$({\overline {C}}.{\overline {A}})+({\overline {A}}.{\overline {B}})+(A.{\overline {C}})+(A.{\overline {B}})+(B.C.D)+(B.C.{\overline {D}})$

卡諾圖有一些特定的規則。

• 這些組不能包含0。
• 這些組不能是斜線。
• 這些組必須儘可能大。
• 這些組必須包含一個塊中的1,2,4或8。
• 這些組可以重疊。
• 這些組可以在地圖的任一端環繞。
• 目標是最少數量的組。

加法器和觸發器電路

半加器

真值表

A	B	S	C
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	0	1

其中S是A異或B，C是A與B。

全加器

真值表

A	B	Cin	S	Cout
0	0	0	0	0
0	0	1	1	0
0	1	0	1	0
0	1	1	0	1
1	0	0	1	0
1	0	1	0	1
1	1	0	0	1
1	1	1	1	1

這是一個由兩個半加器和一個或門組成的組合。

觸發器

這些電路能夠儲存資訊。

真值表

A	B	P	Q
0	0	1	1
0	1	1	0
1	0	0	1
1	1	0	1
1	1	1	0

如上面最後兩個值的顯示，電路可以根據先前儲存的值存在於任一狀態。

D型觸發器

D型觸發器

D型觸發器的邏輯電路。

D型觸發器是一種能夠儲存一位資訊的邏輯電路，在兩種狀態之間切換。D型觸發器中的D代表延遲。

當時鍾處於正（領先）邊沿時，觸發變化，控制輸入的狀態將在時鐘週期記憶體儲。以下是一個示例。

D型觸發器有兩個輸入，控制 ($D$) 和時鐘訊號，以及兩個輸出，儲存資料 ($Q$) 和反相 (${\overline {Q}}$).

您可能會被要求根據控制輸入和時鐘，完成上面類似圖表的輸出訊號。