A-level 數學/AQA/MFP1

二次方程的根與係數

給定方程 ax²+bx+c=0 的根為 $\alpha$ 和 $\beta$

$\mathrm {sum\ of\ roots} =\alpha +\beta ={{-b} \over {a}}$

$\mathrm {product\ of\ roots} =\alpha \beta ={{c} \over {a}}$

有用結果

$\alpha ^{2}+\beta ^{2}=(\alpha +\beta )^{2}-2\alpha \beta$
$\alpha ^{3}+\beta ^{3}=(\alpha +\beta )^{3}-3\alpha \beta (\alpha +\beta )$
${1 \over \alpha }+{1 \over \beta }={\alpha +\beta \over \ \alpha \beta }$

最後一個來自於當您新增兩個分數時。通常公式是

${a \over b}+{c \over d}={ad+cb \over bd}$

複數

複數是一種與我們通常認為的數字不同的“型別”。複數有無限多個，就像有無限多個“普通”或實數一樣。為了澄清，實數是指數軸上的任何數字：整數（...-2, -1, 0, 1, 2...）、有理數（可以寫成分數形式，例如 1.2、5.75）、無理數（不能寫成分數形式，例如 π、√2） - 它們都是實數。複數“超越”了這些普通數字。

考慮一下二次方程的判別式 - 從公式中：$b^{2}-4ac$。請記住，二次方程的判別式決定了其根（解）的性質。判別式≥0 意味著存在實根，而判別式<0 意味著不存在實根。為什麼呢？

回想一下二次公式：$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

由此可見，如果$b^{2}-4ac<0$，那麼$x$ 將涉及負數的平方根。以二次方程$x^{2}+1=0$為例，我們可以看到$x$ 沒有解。我們需要$x^{2}=-1$，那麼$x$ 可以是什麼？它不能是 1，因為 1 的平方是 1。它也不能是 -1，因為 -1 的平方也是 1。我們該怎麼辦呢？

虛數單位 i

為了解決這個問題，我們“發明”了一個數字，叫做$i$。$i$ 作為實數並不“存在” - 所以你不可能手裡有$i$ 個蘋果。因此$i$ 被稱為 *虛數*，這就是 i 代表的意思。 $i$ 的關鍵特性是$i^{2}=-1$。所以在我們上面的例子中，解是$x=i$。對嗎？

嗯，不完全是。我們可以使用$i$ 的倍數：2i、3i、4i、0.4i、-0.4i、-1.4i... 。我們可以有$i$ 的正或負、整數、有理數或無理數倍數。讓我們簡單點，考慮一下$-i$。什麼是$(-i)^{2}$？

答案是 -1。為什麼？簡而言之，負號乘以負號等於正號，而 $i$ 乘以 $i$ 等於 -1，所以結果就是 -1。如果這有點令人困惑，可以將問題視為尋找 $(ab)^{2}$，然後代入 $a=-1$ 和 $b=i$。簡而言之，$i^{2}=(-i)^{2}=-1$。將此應用於上述問題，我們得到兩個（非實數）解：$x=i$ 和 $x=-i$。

就像我們可以說 1 的平方根是 1 或 -1 一樣，-1 的平方根是 i 或 -i。

負數的平方根

我們已經研究了 ${\sqrt {-1}}$。但這本身並不太有用。例如，${\sqrt {-4}}$ 等於多少？我們可以用簡化根式的方法來處理這個問題。

${\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}{\sqrt {b}}$ 如果 ab = -2，我們可以令 a=-1，b =2。 ${\sqrt {-4}}={\sqrt {-1}}{\sqrt {4}}$

• i 的冪
• a + bi
• 加法、減法
• 乘法
• “除法”
• 共軛，z，z* 符號
• 共軛作為二次方程的根。
• 考慮實部和虛部
• 從虛數引入複數。

（曼德勃羅集的影像和說明，提及複數的應用）

i 的冪塔

i 的定義的一部分是 $i^{2}=-1$，並且僅基於此事實，我們可以找到任何整數的 i 的冪。

讓我們提升一個冪。什麼是 $i^{3}$？我們可以把 $i^{3}$ 寫成 $i^{2}*i$。我們已經知道 $i^{2}=-1$，因此簡化為 $-1*i=-i$。很容易！

讓我們嘗試下一個冪 - $i^{4}$。我們用同樣的方法，寫成 $i^{4}=i^{3}*i$。並且很容易代入 $i^{3}=-1$ 得出結論 $i^{4}=1$。想一想，這是有道理的：如果你對 $i^{2}=-1$ 的兩邊都平方，你會得到什麼？

現在我們可以從冪塔上爬下來。 $i^{1}$ 就是 i - 這裡沒有什麼複雜的。如果你想，可以設 $i^{1}=x$，並在 $i^{2}=i*x$ 中求解 x。

我們也可以用它來求 $i^{0}$ - 我們用 y 來表示它。那麼

$i^{1}=i*y$ $i=i*y$

複數，更正式地說

複數是形如 $a+bi$ 的數，其中 a 和 b 都是實數，i 是虛數單位。我們稱 a 為實部

所以如果要使用二次方程式 ${\frac {2\pm {\sqrt {-2^{2}-4\cdot 1\cdot 16}}}{2}}$. 你會得到 ${\frac {2\pm {\sqrt {-64}}}{2}}$. 由於 ${\sqrt {-1}}=i$, 它可以簡化為 ${\frac {2\pm 8i}{2}}$, 然後簡化為 $1\pm 4i$, 其中 1 是實部，8i 是虛部。

複數運算

加法和減法

複數的加法和減法非常直觀：分別對實部和虛部求和。（或者將它們合併成一個表示式並分組同類項。）

示例（加法） $(3+4i)+(4-5i)=(3+4)+(4-5)i=7-i$

示例（減法） $(3+4i)-(4-5i)=(3-4)+(4+5)i=-1+9i$

乘法

乘複數最簡單的方法是在括號中形成一個表示式，然後展開括號並簡化。例如

$\displaystyle (3+2i)\times (4-i)$

展開括號得到：

$\displaystyle 12-3i+8i-2i^{2}$

然後收集同類項並將 $i^{2}$ 替換為 $-1$；

$\displaystyle 12+5i-2\times -1$

$\displaystyle 12+5i+2$

因此最終結果為：

$\displaystyle 14+5i$

除法

FP1 中沒有涵蓋除法，但在其他更純的模組中涵蓋了除法。

複共軛

每個複數都有一個複共軛，它是由取原始複數並將虛部的符號改變而形成的。例如，$3+2i$ 的複共軛是 $3-2i$。這些數通常被稱為共軛對。

z 的共軛記為 z*。

共軛對具有這樣的性質：當一個從另一箇中減去時，結果是純虛數。同樣，如果它們相加或相乘，結果是一個實數。這意味著對於具有實係數但虛根的二次方程，根將是一對複共軛。

示例

$\displaystyle x^{2}+2x+14=0$

此方程無法因式分解，因此我們使用二次公式 ($\scriptstyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$) 來解它；

$x={\frac {-2\pm {\sqrt {2^{2}-4\times 1\times 14}}}{2}}$

你會發現根號下的部分是負數，這意味著二次方程的根不是實數。

$x={\frac {-2\pm {\sqrt {-52}}}{2}}$

用 i 表示根，簡化無理數。

$x={\frac {-2\pm 2i{\sqrt {13}}}{2}}$

現在你可以約簡分數，得到答案。

$\displaystyle x=-1\pm i{\sqrt {13}}$

不等式

• 用分母的平方乘以不等式，以確保乘法為正數
• 臨界值
• 不等式的真值表和圖形
• 因式分解

三角函式

• sin、cos、tan 的特殊角度
• 弧度
• 求一般解而不是特解
• 使用 sin/cos === tan、cos^2+sin^2 === 1

矩陣和變換

• 矩陣的定義
• 矩陣的階
• 矩陣加法、減法
• 矩陣乘法
  • 矩陣乘法何時有定義
• 用矩陣表示變換
  • 反射、反射、放大
• 複合變換
• 繞原點旋轉 theta 角的公式、關於直線 y = x * tan theta 的反射公式

線性規律

• 對數規律
• 利用對數規律將以下函式化為線性關係
  • y=a^x + b
  • y=x^a + b

級數

簡單來說，級數是將數列的項加在一起的結果，例如，將數列 2n+1 的項加在一起產生的級數為；

$\displaystyle 3+5+7+9...$

這是一個無限數列，因為它有無限多個項。但是，如果我們將它限制在數列的前 5 項，我們就建立了一個有限數列。這更容易處理和求和，因此；

$\displaystyle 3+5+7+9+11=35$

為了簡單地寫這個，我們使用求和符號。

求和符號

希臘字母 sigma 的大寫形式，$\Sigma$ 用於表示“求和”。它用變數的範圍寫在它的上方和下方（最大值在上方，最小值在下方），並且在它的下方寫著表示要改變的變數的字母。因此，上面顯示的第二個例子將寫成；

$\sum _{n=1}^{5}(2n+1)$

上面顯示的第一個例子也可以用求和符號寫成，在 sigma 上方使用無窮大符號 )$\infty$)。

用初始計數器值不為 1 求和

如果 sigma 下面的數字不是 1，那麼您應該使用兩個 sigma 符號將表示式拆分，例如

$\sum _{n=5}^{10}(2n+1)$

變成；

$\sum _{n=1}^{10}(2n+1)-\sum _{n=1}^{4}(2n+1)$

請注意，在表示式的第二部分中，變數的最大值比原始表示式中的最小值少一。

r、r^2、r^3 的公式

使用特殊的公式來求解 sigma 符號上方有變數的級數的值。

r 的公式

求前 n 個自然數的和的表示式可以用求和符號寫成；

$\sum _{r=1}^{n}r$

這可以用一個只包含 n 的表示式寫成；

${\frac {n(n+1)}{2}}$

r^2 的公式

求前 n 個平方數的和的表示式可以用求和符號寫成；

$\sum _{r=1}^{n}r^{2}$

它也可以用n表示成一個表示式。

${\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

$r^{3}$ 公式

可以利用西格瑪符號來表示將前n個立方數相加的表示式；

$\sum _{r=1}^{n}r^{3}$

它也可以用n表示成一個表示式。

${\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}$

對西格瑪符號進行操作

利用以上公式的組合，我們可以找到更復雜表示式的值。例如；

$\sum _{r=1}^{10}(r^{3}+5r-7)$

首先，你可以拆分表示式的項，你也可以在西格瑪符號之前提取項的係數。

$\sum _{r=1}^{10}r^{3}+5\sum _{r=1}^{10}r-\sum _{r=1}^{10}7$

利用以上公式，你可以用它們的等效表示式來替換前兩項。對於最後一項，你可以看到它是十個七的總和，或者 $\scriptstyle 7\times 10$

${\frac {10^{2}(10+1)^{2}}{4}}+5{\frac {10(10+1)}{2}}-7\times 10$

現在這個表示式可以像任何其他表示式一樣求解；

$\displaystyle 3025+275-70$

$\displaystyle 3230$

微積分

• 從第一性原理出發進行微分
• 差商
• 反常積分
  • 為什麼是反常的
  • 積分是否存在？

有理函式

• 定義、示例
• 漸近線 - 定義
• 如何找到垂直漸近線和水平漸近線。
• 透過考慮以下內容來繪製函式圖
  • 漸近線
  • x 和 y 軸截距
  • 接近漸近線時的行為

其他函式

• 利用二次方程的判別式找出最大值和最小值
  • 注意，商法則的微分被明確排除在外。

雙曲線、拋物線和橢圓

• 定義、示例、廣義公式
• 變換
• 雙曲線的漸近線
• 橢圓與圓的關係
  • 焦點。

另請參閱

• AQA 數學規範 2009（第 48-50 頁）