A-level 數學/AQA/MFP2

多項式的根

多項式方程的根與係數之間的關係；當多項式的係數為實數時，非實根以共軛對出現。

複數

負一的平方根

${\sqrt {-1}}=i\,\!$

$i^{2}=-1\,\!$

任何負實數的平方根

${\sqrt {-2}}={\sqrt {2\times -1}}={\sqrt {2}}\times {\sqrt {-1}}={\sqrt {2}}\times i=i{\sqrt {2}}\,\!$

${\sqrt {-n}}=i{\sqrt {n}}\,\!$

複數的一般形式

$z=x+iy\,\!$

其中 $x\,\!$ 和 $y\,\!$ 是實數

複數的模

$|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,\!$

複數的幅角

複數 $z\,\!$ 的幅角是指正 x 軸與連線原點和複平面中對應點的直線之間的角度（參見 [1]）

$\tan {\theta }={\frac {y}{x}}\,\!$

$\arg {z}=\theta \,\!$

$\arg {z}=\tan ^{-1}{\left({\frac {y}{x}}\right)}\,\!$

複數的極座標形式

$x+iy=z=|z|e^{i\theta }=\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)e^{i\theta }\,\!$

$e^{i\theta }=\cos {\theta }+i\sin {\theta }\,\!$

$z=|z|e^{i\theta }=|z|\left(\cos {\theta }+i\sin {\theta }\right)\,\!$

$e^{i\theta }={\frac {z}{|z|}}={\frac {x+iy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\,\!$

形如 x + iy 的複數的加減乘運算

一般來說，如果 $z_{1}=a_{1}+ib_{1}$ 和 $z_{2}=a_{2}+ib_{2}$,

$z_{1}+z_{2}=(a_{1}+a_{2})+i(b_{1}+b_{2})$

$z_{1}-z_{2}=(a_{1}-a_{2})+i(b_{1}-b_{2})$

$z_{1}z_{2}=a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}+i(a_{2}b_{1}+a_{1}b_{2})$

共軛複數

${\mbox{If }}z=x+iy{\mbox{, then }}z^{*}=x-iy\,\!$

$zz^{*}=|z|^{2}\,\!$

x + iy 形式的複數的除法

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {z_{1}}{z_{2}}}{\frac {z_{2}^{*}}{z_{2}^{*}}}={\frac {z_{1}z_{2}^{*}}{|z_{2}|^{2}}}$

複數極座標形式的乘積和商

如果 $z_{1}=(r_{1},{\mbox{ }}\theta _{1})$ 且 $z_{2}=(r_{2},{\mbox{ }}\theta _{2})$，則 $z_{1}z_{2}=(r_{1}r_{2},{\mbox{ }}\theta _{1}+\theta _{2})$，前提是如果 $\theta _{1}+\theta _{2}$ 超出 $\theta$ 的允許範圍，則可能需要在 $\theta _{1}+\theta _{2}$ 中加或減去 $2\pi$。

如果 $z_{1}=(r_{1},{\mbox{ }}\theta _{1})$ 且 $z_{2}=(r_{2},{\mbox{ }}\theta _{2})$，則 ${\frac {z_{1}}{z_{2}}}=\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}},{\mbox{ }}\theta _{1}-\theta _{2}\right)$，關於角度 $\theta _{1}-\theta _{2}$ 的大小，也有相同的規定。

等式實部和虛部

${\mbox{If }}a+ib=c+id{\mbox{, where }}a{\mbox{, }}b{\mbox{, }}c{\mbox{ and }}d{\mbox{ are real, then }}a=c{\mbox{ and }}b=d\,\!$

阿根圖上的座標幾何

如果複數 $z_{1}$ 在阿根圖上由點 $A$ 表示，而複數 $z_{2}$ 由點 $B$ 表示，則 $|z_{2}-z_{1}|=AB\,\!$，並且 $\arg {(z_{2}-z_{1})}$ 是向量 ${\overrightarrow {AB}}$ 與 x 軸正方向之間的夾角。

阿根圖上的軌跡

$|z|=k$ 表示以點 $O$ 為圓心，半徑為 $k$ 的圓。

$|z-z_{1}|=k$ 表示以點 $z_{1}$ 為圓心，半徑為 $k$ 的圓。

$|z-z_{1}|=|z-z_{2}|$ 表示一條直線——連線點 $z_{1}$ 和 $z_{2}$ 的連線的垂直平分線。

${\mbox{arg }}z=\alpha$ 表示從 $O$ 出發的、與 $Ox$ 的正方向成 $\alpha$ 角的 *一半* 直線。

${\mbox{arg}}(z-z_{1})=\alpha$ 表示從 *點* $z_{1}$ 出發的、與 $Ox$ 的正方向成 $\alpha$ 角的 *一半* 直線。

棣莫弗定理及其應用

棣莫弗定理

$\left(\cos {\theta }+i\sin {\theta }\right)^{n}=\cos {n\theta }+i\sin {n\theta }\,\!$

棣莫弗定理對於整數 *n*

$z+{\frac {1}{z}}=2\cos {\theta }$

$z-{\frac {1}{z}}=2i\sin {\theta }$

複數的指數形式

${\mbox{If }}z=r(\cos {\theta }+i\sin {\theta }){\mbox{, }}\,\!$

${\mbox{then }}z=re^{i\theta }\,\!$

${\mbox{and }}z^{n}=\left(re^{i\theta }\right)^{n}=r^{n}e^{ni\theta }\,\!$

$\cos {\theta }={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$

$\sin {\theta }={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}$

單位根的立方根

單位根的立方根為 $1$, $w$ 和 $w^{2}$，其中

$w^{3}=1\,\!$

$1+w+w^{2}=0\,\!$

非實根為

${\frac {-1\pm i{\sqrt {3}}}{2}}$

單位根的 n 次方根

方程 $z^{n}=1$ 的根為

$z=e^{\frac {2k\pi i}{n}}{\mbox{ where }}k=0,1,2,\dots ,(n-1)$

zⁿ = α 的根，其中 α 為非實數

方程 $z^{n}=\alpha$，其中 $\alpha =re^{i\theta }$，其根為

$z=r^{\frac {1}{n}}e^{\frac {i(\theta +2k\pi )}{n}}{\mbox{ where }}k=0,1,2,\dots ,(n-1)$

雙曲函式

雙曲函式的定義

$\sinh {x}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$

$\cosh {x}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$

$\tanh {x}={\frac {\sinh {x}}{\cosh {x}}}$

$\operatorname {cosech} {x}={\frac {1}{\sinh {x}}}$

$\operatorname {sech} ={\frac {1}{\cosh {x}}}$

$\coth {x}={\frac {1}{\tanh {x}}}$

雙曲恆等式

$\cosh ^{2}{x}-\sinh ^{2}{x}=1\,\!$

$1-\tanh ^{2}{x}=\operatorname {sech} ^{2}{x}\,\!$

$\coth ^{2}{x}-1=\operatorname {cosech} ^{2}{x}\,\!$

加法公式

$\sinh {(x+y)}=\sinh {x}\cosh {y}+\cosh {x}\sinh {y}\,\!$

$\cosh {(x+y)}=\cosh {x}\cosh {y}+\sinh {x}\sinh {y}\,\!$

二倍角公式

$\sinh {2x}=2\sinh {x}\cosh {y}\,\!$

${\begin{aligned}\cosh {2x}&=\cosh ^{2}{x}+\sinh ^{2}{x}\\&=2\cosh ^{2}{x}-1\\&=1+2\sinh ^{2}{x}\end{aligned}}\,\!$

奧斯本法則

奧斯本法則指出

將三角函式轉換為對應的雙曲函式時，如果出現兩個正弦函式的乘積，則將相應的雙曲形式的符號改為相反。

注意，奧斯本法則是一個記憶技巧，並非證明。

雙曲函式的微分

${\frac {d}{dx}}\sinh {x}=\cosh {x}$

${\frac {d}{dx}}\cosh {x}=\sinh {x}$

${\frac {d}{dx}}\tanh {x}=\operatorname {sech} ^{2}{x}$

${\frac {d}{dx}}\sinh {kx}=k\cosh {kx}$

${\frac {d}{dx}}\cosh {kx}=k\sinh {kx}$

${\frac {d}{dx}}\tanh {kx}=k\operatorname {sech} ^{2}{kx}$

雙曲函式的積分

$\int \sinh {x}\,dx=\cosh {x}+c$

$\int \cosh {x}\,dx=\sinh {x}+c$

$\int \operatorname {sech} ^{2}{x}\,dx=\tanh {x}+c$

$\int \tanh {x}\,dx=\ln {\cosh {x}}+c$

$\int \coth {x}\,dx=\ln {\sinh {x}}+c$

反雙曲函式

反雙曲函式的對數形式

$\sinh ^{-1}{x}=\ln {\left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}$

$\cosh ^{-1}{x}=\ln {\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}$

$\tanh ^{-1}{x}={\frac {1}{2}}\ln {\left({\frac {1+x}{1-x}}\right)}$

反雙曲函式的導數

${\frac {d}{dx}}\sinh ^{-1}{x}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$

${\frac {d}{dx}}\cosh ^{-1}{x}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$

${\frac {d}{dx}}\tanh ^{-1}{x}={\frac {1}{1-x^{2}}}$

${\frac {d}{dx}}\sinh ^{-1}{\frac {x}{a}}={\frac {1}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}$

${\frac {d}{dx}}\cosh ^{-1}{\frac {x}{a}}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}$

${\frac {d}{dx}}\tanh ^{-1}{\frac {x}{a}}={\frac {1}{a^{2}-x^{2}}}$

積分到反雙曲函式的積分

$\int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}\,dx=\sinh ^{-1}{\frac {x}{a}}+c$

$\int {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}\,dx=\cosh ^{-1}{\frac {x}{a}}+c$

$\int {\frac {1}{a^{2}-x^{2}}}\,dx=\tanh ^{-1}{\frac {x}{a}}+c$

弧長和旋轉曲面的面積

使用笛卡爾座標或引數座標計算曲線的弧長和曲面的面積

$s=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}dx=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}dt$

$S=2\pi \int _{x_{1}}^{x_{2}}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}dx=2\pi \int _{t_{1}}^{t_{2}}y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}dt$

進一步閱讀

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