A-level 數學/AQA/MPC2

數列和級數

符號

$u_{n}\,\!$ — 數列的通項；第 n 項

$a\,\!$ — 數列的第一項

$l\,\!$ — 數列的最後一項

$d\,\!$ — 等差數列的公差

$r\,\!$ — 等比數列的公比

$S_{n}\,\!$ — 前 n 項之和：$S_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+\ldots +u_{n}\,\!$

$\sum \,\!$ — 求和

$\infty \,\!$ — 無窮大（這是一個概念，而不是一個數字）

$n\rightarrow \infty \,\!$ — n 趨於無窮大（n 越來越大）

$|x|\,\!$ — x 的模數（x 的值，忽略任何負號）

收斂、發散和週期數列

收斂數列

如果一個數列的第n項在n趨近於無窮大的時候越來越接近一個有限數L，那麼這個數列就稱為收斂數列。L被稱為數列的極限。

${\mbox{As }}n\to \infty {\mbox{, }}u_{n}\to L\,\!$

另一種表示相同意思的方式是

$\lim _{n\to \infty }u_{n}=L\,\!$

收斂數列的極限定義

通常，由 $u_{n+1}=f(u_{n})\,\!$ 定義的數列的極限 $L\,\!$ 由 $L=f(L)\,\!$ 給出。

發散數列

當 $n$ 增加時，不趨於極限的數列被稱為發散數列。例如：1，2，4，8，16，...

週期數列

以規律迴圈（振盪）的數列被稱為週期數列。

級數

級數是數列各項的和。那些具有可數項的級數被稱為有限級數，而那些具有無窮項的級數被稱為無窮級數。

等差數列

等差數列（AP）是指相鄰兩項之差為常數的數列，這個常數稱為公差。從一項到下一項，只需加上公差即可。

$u_{n+1}=u_{n}+d\,\!$

等差數列第n項的表示式

$u_{n}=a+(n-1)d\,\!$

等差數列前n項和的公式

等差數列的和被稱為等差級數。

$S_{n}={\frac {n}{2}}\left\lbrack 2a+(n-1)d\right\rbrack \,\!$

$S_{n}={\frac {n}{2}}(a+l)\,\!$

前n個自然數之和的公式

自然數是指正整數，即 1，2，3，...

$S_{n}={\frac {n}{2}}(n+1)\,\!$

等比數列

等比數列（GP）是指一個序列，其中任何兩個相鄰項之間的比率是一個常數，稱為公比。要從一個項到下一個項，只需乘以公比。

$u_{n+1}=ru_{n}\,\!$

等比數列的第 n 項表示式

$u_{n}=ar^{n-1}\,\!$

等比數列前 n 項和的公式

$S_{n}=a\left({\frac {1-r^{n}}{1-r}}\right)\,\!$

$S_{n}=a\left({\frac {r^{n}-1}{r-1}}\right)\,\!$

等比數列無窮項和的公式

$S_{\infty }=\sum _{n=1}^{\infty }ar^{n-1}={\frac {a}{1-r}}\qquad {\mbox{where }}-1<r<1\,\!$

二項式定理

二項式定理是一個公式，它提供了一種快速有效的方法來展開 **和的冪**，其一般形式為 $(a+b)^{n}$.

二項式係數

展開 $(1+x)^{n}$ 時，$(r+1)^{th}$ 項的係數的一般表示式是

${}^{n}\!C_{r}={\binom {n}{r}}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}$

其中 $n!=1\times 2\times 3\times \ldots \times n$

$n!$ 稱為 *n* 的階乘。根據定義，$0!=1$。

(1+x)ⁿ 的二項式展開

$(1+x)^{n}=1+{\binom {n}{1}}x+{\binom {n}{2}}x^{2}+{\binom {n}{3}}x^{3}+\ldots +x^{n}$

$(1+x)^{n}=1+nx+{\frac {n(n-1)}{2!}}+{\frac {n(n-1)(n-2)}{3!}}+\ldots +x^{n}$

$(1+x)^{n}=\sum _{r=0}^{n}{\binom {n}{r}}x^{r}$

三角函式

弧長

$l=r\theta \,\!$

扇形面積

$A={\tfrac {1}{2}}r^{2}\theta$

三角恆等式

$\tan {\theta }\equiv {\frac {\sin {\theta }}{\cos {\theta }}}$

$\sin ^{2}{\theta }+\cos ^{2}{\theta }\equiv 1\,\!$

指數和對數

指數定律

$x^{m}\times x^{n}=x^{m+n}\,\!$

$x^{m}\div x^{n}=x^{m-n}\,\!$

$\left(x^{m}\right)^{n}=x^{mn}\,\!$

$x^{0}=1\,\!$ (當 x ≠ 0 時)

$x^{-m}={\frac {1}{x^{m}}}\,\!$

$x^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{x}}\,\!$

$x^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{x^{m}}}\,\!$

對數

$10^{2}=100\Leftrightarrow \log _{10}{100}=2$

$10^{3}=1000\Leftrightarrow \log _{10}{1000}=3$

$2^{5}=32\Leftrightarrow \log _{2}{32}=5$

$\log _{a}{b}=c\Leftrightarrow a^{c}=b$

對數定律

對數的和等於積的對數。

$\log {x}+\log {y}=\log {xy}\,\!$

對數的差等於商的對數。

$\log {x}-\log {y}=\log {\left({\frac {x}{y}}\right)}$

指數可以從冪的對數中移出。

$k\log {x}=\log {\left(x^{k}\right)}$

微分

對兩個函式的和或差進行微分

$y=f(x)\pm g(x)\quad \therefore \quad {\frac {dy}{dx}}=f'(x)\pm g'(x)$

積分

積分 axⁿ

$\int ax^{n}\,dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c\qquad {\mbox{ for }}n\neq -1\,\!$

曲線下的面積

曲線 $y=f(x)$ 在極限 $x=a$ 和 $x=b$ 之間的面積由以下公式給出：

$A=\int _{a}^{b}y\,dx$