A-level 數學/AQA/MPC3

函式

對映和函式

我們將函式視為一種操作，它接收一個數字並將其轉換為另一個數字。對映是一種更通用的函式型別。它僅僅是一種將一個集合中的數字與另一個集合中的數字相關聯的方式。讓我們看一下三種不同型別的對映

• 一對一 - 此對映為每個輸入提供一個唯一的輸出。
• 多對一 - 這種型別的對映會為多個 $x$ 值產生相同的輸出。
• 一對多 - 此對映為每個輸入產生多個輸出。

只有前兩種對映是函式。一個不是函式的對映示例是 $f(x)=\pm {\sqrt {x}}$

函式的定義域和值域

一般來說

• $f(x)$ 稱為 $x$ 的像。
• 允許的 $x$ 值的集合稱為函式的定義域
• 所有像的集合稱為函式的值域

模函式

$x$ 的模，記為 $|x|$，定義為

$|x|={\begin{cases}x&{\mbox{for }}x\geq 0\\-x&{\mbox{for }}x<0\end{cases}}$

微分

鏈式法則

鏈式法則指出

如果 $y$ 是 $u$ 的函式，而 $u$ 是 $x$ 的函式，

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}{\frac {du}{dx}}$

從上面可以看出，第一步是注意到我們有一個可以分解成兩個函式的函式，我們知道如何對它們進行微分。此外，該函式的形式為 $f(g(x))$。然後，我們將一個變數分配給內部函式，通常是 $u$，並使用上面的規則；

對 $y=2(x-1)^{3}$ 進行微分

我們可以看到它具有正確的形式，並且我們知道如何對每個部分進行微分。

設 $u=x-1$

現在我們可以重新寫原始函式，$y=2u^{3}$

現在我們可以對每個部分進行微分；

${\frac {dy}{du}}=6u^{2}$ 和 ${\frac {du}{dx}}=1$

現在應用上面的規則；${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}*{\frac {du}{dx}}=6u^{2}*1=6u^{2}=6(x-1)^{2}$

乘積法則

乘積法則指出

如果 $y=uv$，其中 $u$ 和 $v$ 都是 $x$ 的函式，則

${\frac {d}{dx}}(uv)=u{\frac {dv}{dx}}+v{\frac {du}{dx}}$

另一種寫乘積法則的方法是

$(uv)'=uv'+u'v\,\!$

或者用拉格朗日表示法

如果 $k(x)=f(x)g(x)$，

則 $k'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

商法則

商法則指出

如果 $y={\frac {u}{v}}$，其中 $u$ 和 $v$ 是 $x$ 的函式，那麼

${\frac {d}{dx}}\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {v{\frac {du}{dx}}-u{\frac {dv}{dx}}}{v^{2}}}$

另一種寫商法則的方式是

$\left({\frac {u}{v}}\right)'={\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}$

x 作為 y 的函式

一般來說，

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\frac {dx}{dy}}}$

三角函式

函式 cosec θ、sec θ 和 cot θ

$\operatorname {cosec} {\theta }={\frac {1}{\sin {\theta }}}$

$\sec {\theta }={\frac {1}{\cos {\theta }}}$

$\cot {\theta }={\frac {1}{\tan {\theta }}}$

標準三角恆等式

$\cot {\theta }={\frac {\cos {\theta }}{\sin {\theta }}}$

$\sec ^{2}{\theta }=1+\tan ^{2}{\theta }\,\!$

$\operatorname {cosec} ^{2}{\theta }=1+\cot ^{2}{\theta }$

sin x、cos x 和 tan x 的微分

${\frac {d}{dx}}\left(\sin {x}\right)=\cos {x}$

${\frac {d}{dx}}\left(\cos {x}\right)=-\sin {x}$

${\frac {d}{dx}}\left(\tan {x}\right)=\sec ^{2}{x}$

sin(kx) 和 cos(kx) 的積分

一般來說，

$\int \cos {kx}\ dx={\frac {1}{k}}\sin {kx}+c$

$\int \sin {kx}\ dx=-{\frac {1}{k}}\cos {kx}+c$

指數函式和對數函式

指數函式和對數函式的微分

一般來說，

${\mbox{when}}\ y=e^{kx},\ {\frac {dy}{dx}}=ke^{kx}$

$\int e^{kx}\ dx={\frac {1}{k}}e^{kx}+c$

自然對數

如果 $y=\ln {x}$，那麼

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{x}}$

由此結果可以得出

$\int {\frac {1}{x}}\ dx=\ln {x}+c$

$\int {\frac {f'(x)}{f(x)}}\ dx=\ln {f(x)}+c,\ {\mbox{provided}}\ f(x)>0$

積分

分部積分法

$\int u{\frac {dv}{dx}}\ dx=uv-\int v{\frac {du}{dx}}\ dx$

標準積分

$\int {\frac {dx}{a^{2}+x^{2}}}={\frac {1}{a}}\tan ^{-1}{\left({\frac {x}{a}}\right)}+c$

$\int {\frac {dx}{\sqrt {(a^{2}-x^{2})}}}=\sin ^{-1}{\left({\frac {x}{a}}\right)}+c$

旋轉體體積

曲線 $y=f(x)$ 在 $x=a$ 和 $x=b$ 之間所圍成的面積繞 $x$ 軸旋轉 360° 所形成的旋轉體的體積為

$V=\pi \int _{a}^{b}y^{2}\ dx$

曲線 $y=f(x)$ 在 $y=a$ 和 $y=b$ 之間所圍成的面積繞 $y$ 軸旋轉 360° 所形成的旋轉體的體積為

$V=\pi \int _{a}^{b}x^{2}\ dy$

數值方法

迭代方法

迭代方法是一個重複的過程，以產生一系列對所需解的近似值。

數值積分

中矩形法則

$\int _{a}^{b}y\ dx\approx h\lbrack y_{\frac {1}{2}}+y_{\frac {3}{2}}+\ldots +y_{n-{\frac {3}{2}}}+y_{n-{\frac {1}{2}}}\rbrack$

${\mbox{where}}\ h={\frac {b-a}{n}}$

辛普森法則

$\int _{a}^{b}y\ dx\approx {\frac {h}{3}}\lbrack \left(y_{0}+y_{n}\right)+4\left(y_{1}+y_{3}\ldots +y_{n-1}\right)+2\left(y_{2}+y_{4}+\ldots +y_{n-2}\right)\rbrack$

${\mbox{where}}\ h={\frac {b-a}{n}}\ {\mbox{and}}\ n\ {\mbox{is even}}$