A-level 數學/AQA/MS2B

離散隨機變數

期望值

期望值，用 E(X) 表示，有時也稱為平均值，可以從給定的機率分佈計算得出。它可以定義為 $\sum x_{i}p_{i}$，其中 $p_{i}$ 是值 $x_{i}$ 的機率。例如

一個轉盤的機率分佈為

$x$	1	2	3	4
$P(X=x)$	0.2	0.2	0.5	0.1

E(X) 可以透過將所有值乘以各自的機率進行求和來計算：$(1*0.2)+(2*0.2)+(3*0.5)+(4*0.1)=2.5$

E(X²) 和 E(X)²

有時，您需要計算 E(X²) 和 E(X)²（例如，用於計算離散隨機變數的方差）。E(X)² 的值就是您的 E(X) 值的平方。使用上一個示例中的同一個轉盤，我們的 E(X)² 值將為 $2.5^{2}=6.25$

然而，E(X²) 則更具挑戰性。假設我們使用的是之前在計算 E(X) 和 E(X)² 時相同的轉盤。計算 $x^{2}$ 的期望值意味著我們必須對我們所有 $x$ 值（即轉盤可以停下來的值）進行平方。這給了我們機率分佈

$x^{2}$	1	4	9	16
$P(X^{2}=x^{2})$	0.2	0.2	0.5	0.1

從這裡，我們可以像計算 E(X) 一樣計算我們的 E(X²) 值

$(1*0.2)+(4*0.2)+(9*0.5)+(16*0.1)=7.1$

請注意，我們的 E(X²) 和 E(X)² 值不相等！

E(kX) 和 E(X + k) 的期望值，其中 k 是一個數字

要計算 E(kX) 的值，我們需要將 k 的值移到括號外面。這樣我們就得到了 kE(X)。現在可以正常計算 E(X)，然後乘以 k 的值。對於我們的轉盤示例，E(2X) 的值為 2E(X)，其中 E(X) = 2.5。因此，E(2X) 的值為 5。

要計算 E(X + k) 的值，我們需要再次將 k 的值移到括號外面。我們得到了 E(X) + k，可以正常計算該值。對於我們的轉盤示例，E(X + 3) 的值為 E(X) + 3，即 5.5。

方差

離散隨機變數的方差定義為平方期望值的期望值減去期望值的平方，或者換句話說：$Var(X)=E(X^{2})-E(X)^{2}$。依次，離散隨機變數的標準差（σ - 小寫希臘字母 sigma）定義為方差的平方根，或者：${\sqrt {Var(X)}}$

對於我們的轉盤示例，我們計算出的 E(X²) 的值為 7.1，而 E(X)² 的值為 6.25。因此，該轉盤的方差值為：$Var(X)=7.1-6.25=0.85$

該轉盤的標準差值為：${\sqrt {0.85}}=0.9219544457=0.9220(4.sf)$