A-level 數學/CIE/純數學 2/積分

積分作為反向微分

冪律

微分的冪律指出

${\dfrac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}$

它的反向是 $\int nx^{n-1}dx=x^{n}+c$，它可以寫成 $\int x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+c$

這是積分的冪律。

指數 & 對數

關於指數和對數的導數，我們知道

• ${\dfrac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$
• ${\dfrac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}$

反轉這些，我們得到

• $\int e^{x}=e^{x}+c$
• $\int {\frac {1}{x}}=\ln |x|$

自然對數採用模數輸入，以便它可以處理負數。

請注意，類似的規則適用於與這些函式組合的任何線性表示式

• $\int e^{ax+b}={\frac {1}{a}}e^{ax+b}+c$
• $\int {\frac {1}{ax+b}}={\frac {1}{a}}\ln |ax+b|$

三角函式

三角函式的導數是

• ${\dfrac {d}{dx}}\sin x=\cos x$
• ${\dfrac {d}{dx}}\cos x=-\sin x$
• ${\dfrac {d}{dx}}\tan x=\sec ^{2}x$
• ${\dfrac {d}{dx}}\tan ^{-1}x={\frac {1}{1+x^{2}}}$

因此，相應的積分是

• $\int \cos x=\sin x+c$
• $\int \sin x=-\cos x+c$
• $\int \sec ^{2}x=\tan x+c$
• $\int {\frac {1}{1+x^{2}}}=\tan ^{-1}x+c$

與指數函式和對數函式一樣，這適用於由三角函式構成的線性表示式

• $\int \cos(ax+b)={\frac {1}{a}}\sin(ax+b)+c$
• $\int \sin(ax+b)=-{\frac {1}{a}}\cos(ax+b)+c$
• $\int \sec ^{2}(ax+b)={\frac {1}{a}}\tan(ax+b)+c$
• $\int {\frac {1}{1+(ax+b)^{2}}}={\frac {1}{a}}\tan ^{-1}(ax+b)+c$

在積分中使用三角學

有時，在求表示式的積分時，使用三角恆等式會很有用。

例如，求積分 $\int 4\cos ^{2}xdx$.

${\begin{aligned}\cos 2x&=2\cos ^{2}x-1\quad {\text{Double Angle Identity}}\\\cos ^{2}x&={\frac {\cos 2x-1}{2}}\\\int 4\cos ^{2}xdx&=\int 4{\frac {\cos 2x-1}{2}}dx\\&=\int \cos 2x-1dx\\&={\frac {1}{2}}\sin 2x-x+c\end{aligned}}$

梯形法則

曲線下的面積可以用多個梯形的面積來近似。

梯形法則指出，曲線下的面積可以用求梯形面積之和來近似。梯形的面積由$A={\frac {B+b}{2}}h$給出。其中$B$是較長邊的長度，$b$是較短邊的長度，$h$是兩邊之間垂直距離的長度。

在梯形法則中，每個梯形的垂直距離$h$是一個常數$\Delta x$: 每個梯形的寬度。邊的長度由曲線上的點給出。因此，對於用梯形近似的曲線$f(x)$，每個梯形的面積為$A_{i}={\frac {f(x_{i})+f(x_{i+1})}{2}}\Delta x$.

在界限$a$和$b$之間的曲線下的面積是梯形面積之和：$A=\sum _{x=a}^{b}{\frac {f(x)+f(x+\Delta x)}{2}}\Delta x$.

因為$\Delta x$是常數，面積的表示式可以寫成$A={\frac {f(a)+2f(a+\Delta x)+2f(a+2\Delta x)+\dots +2f(b-\Delta x)+(b)}{2}}\Delta x$，可以簡化為$A=\left({\frac {f(a)+f(b)}{2}}+f(a+\Delta x)+f(a+2\Delta x)+\dots +f(b-\Delta x)\right)\Delta x$

因此，梯形法則指出

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx \left({\frac {f(a)+f(b)}{2}}+f(a+\Delta x)+f(a+2\Delta x)+\dots +f(b-\Delta x)\right)\Delta x$

梯形法則應用例項

Q. 使用梯形法則，將區間分成 4 個小區間，估算 ${\textstyle \int _{0}^{4}2{\sqrt {4x-x^{2}}}~dx}$ 的值，並將答案保留兩位小數。

A.

${\textstyle a=0}$，${\textstyle b=4}$，以及 ${\textstyle h=1}$

使用 $y=2{\sqrt {4x-x^{2}}}$

${\textstyle x}$	0	1	2	3	4
${\textstyle y}$	${\textstyle y_{0}=0}$	${\textstyle y_{1}=2{\sqrt {3}}}$	${\textstyle y_{2}={4}}$	${\textstyle y_{3}=2{\sqrt {3}}}$	${\textstyle y_{4}=0}$

$\int _{0}^{4}2{\sqrt {4x-x^{2}}}~dx\approx {\frac {h}{2}}\left[y_{0}+y_{4}+2\left(y_{1}+y_{2}+y_{3}\right)\right]$

$\approx {\frac {1}{2}}[0+0+2(2{\sqrt {3}}+4+2{\sqrt {3}})]$

$\approx 4{\sqrt {3}}+4$

$\approx 10.93$（保留兩位小數）