A-level 數學/Edexcel/核心 1/代數

數學圍繞著代數，所以對此有足夠的瞭解是必不可少的。你應該從你的 GCSE 課程中認識到大部分內容，但重要的是要確保你理解這一點。

純數學 1，模組 1，代數

合併同類項

相同未知數的多個項可以合併在一起，使它們更容易處理，例如，$6x+2x=8x$，類似地，減法也是一樣的，$5y-3y$ 等同於 $2y$。

指數法則

1. $x^{a}\times x^{b}=x^{a+b}$。

For example, $x^{3}\times x^{2}$. This is the same as $(x\times x\times x)\times (x\times x)$. Or $x\times x\times x\times x\times x=x^{5}=x^{3+2}$

2. $x^{a}\div x^{b}=x^{a-b}$。

For example, $x^{5}\div x^{3}$, expands to ${\frac {x\times x\times x\times x\times x}{x\times x\times x}}$. Three of the $x$'s on the top line cancel out, leaving us with $x\times x=x^{2}=x^{5-3}$

3. $(x^{a})^{b}=x^{a\times b}$

For example, $(4^{2})^{3}=(4\times 4)\times (4\times 4)\times (4\times 4)$ or $4^{6}$

4. $x^{0}=1$ 其中 $x\neq 0$

For example, $5^{0}\times 6=1\times 6=6$

5. $x^{\frac {a}{b}}={\sqrt[{b}]{x^{a}}}=({\sqrt[{b}]{x}})^{a}$

For example, $8^{\frac {2}{3}}={\sqrt[{3}]{8}}^{2}=2^{2}=4.$

根式運算

根式是一個無理數，這意味著它不能用小數或分數形式精確表示，例如 ${\sqrt {2}}$，使用根式形式表示數字是因為以其他任何方式寫會降低精度，而在數學中需要精確值。C1 需要兩個根式運算規則

1. ${\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}\times {\sqrt {y}}$

For example, ${\sqrt {16\times 25}}=20={\sqrt {16}}\times {\sqrt {25}}$.

2. ${\sqrt {\frac {x}{y}}}={\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}$

For example,  ${\sqrt {\frac {5}{4}}}={\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {4}}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}$

有時，根式可能需要表示為 $x{\sqrt {y}}$，這可以透過找到一個平方數（例如 4 或 9）來實現，該平方數乘以根式，然後可以將該平方數從平方根中取出並放在前面。

For example,  ${\sqrt {45}}={\sqrt {9\times 5}}={\sqrt {9}}{\sqrt {5}}=3{\sqrt {5}}$

二次函式

影像

二次方程的一般形式是 $\textstyle y=f(x)=ax^{2}+bx+c,a\neq 0$，其中 *a*、*b* 和 *c* 是常數。

可以透過簡單地取 *x* 的值並使用給定的影像方程計算 *y* 的值來繪製圖像。然後，可以將這些值繪製在影像上。

例如，$\textstyle y=x^{2}-3x-4$，然後取 *x* 在 -2 到 +5 之間，得到

x	-2	-1	0	1	2	3	4	5
y = x2-3x-4	6	0	-4	-6	-6	-4	0	6

方程和不等式

聯立方程

聯立方程是兩個或多個方程，您必須找到滿足這兩個方程的未知數的值。你需要了解兩種方法來解決它們。

消元法

消元法包括將兩個方程“減去”或“加在一起”以消去兩個未知數中的一個。以下是一個例子

${\begin{array}{lcl}5x+4y&=&33\\6x-4y&=&22\end{array}}$

在這種情況下，將兩個方程加在一起將消去 *y*。

${\begin{array}{lclc}&5x+4y&=&33\\+&6x-4y&=&22\\\Rightarrow &11x+0y&=&55\end{array}}$

然後我們可以解出$11x=55$，得到$x=5$。然後，將這個 x 值代入原始方程之一，可以求出 y 的值。

${\begin{array}{l}5x+4y=33\\25+4y=33\\4y=8\\y=2\end{array}}$

有時，你可能需要改變其中一個方程才能使用消元法。看看下面的兩個方程

${\begin{array}{lcl}3x+4y&=&14\\5x+8y&=&24\end{array}}$

目前無法消去任何一個未知數，但將第一個方程的整個式子乘以 2，就可以消去一個方程減去另一個方程。

${\begin{array}{lclc}&6x+8y&=&28\\-&5x+8y&=&24\\\Rightarrow &1x+0y&=&4\end{array}}$

然後，將這個值代入原始方程之一，可以求出 y

${\begin{array}{l}5x+8y=24\\20+8y=24\\8y=4\\y={\frac {1}{2}}\end{array}}$

不等式

線性

不等式可以像方程一樣進行操作，但有一條額外的規則：當乘以或除以負數時，大於/小於號必須互換。

For example:

${\begin{aligned}-6x+3&>-9\\-6x&>-12\\x&<2\end{aligned}}$

二次方程

臨界值

對於不等式$ax^{2}+bx+x<0$，考慮相應的方程$ax^{2}+bx+c=0$。解出 x 的值；得到的兩個 x 值被稱為臨界值，它們表示不等式解的邊界。例如

$\displaystyle x^{2}-2x-3=0$

$\displaystyle (x+1)(x-3)=0$

$\displaystyle x=-1$ 或者 $\displaystyle x=3$.

因此，臨界值為 -1 和 3。

在上面的例子中，解是 $-1<x<3$ 或 $x<-1;x>3$。要確定哪一個是正確的，將任何值（除臨界值外）代入原始不等式，然後檢視不等式是否成立，如果成立，則你代入的值就在解集中。

從上面的例子繼續，令 $x=0$.

$0-0-3<0$

這表明 0 是一個解，並且它位於 $-1<x<3$ 中，因此 $-1<x<3$ 是解。