A-level 數學/Edexcel/核心 1/積分

積分基礎

積分是微分的逆運算。對於 x 的冪，您需要將冪加 1，除以新的冪，然後加上積分常數 c。請注意，當 x 的冪為 -1 時，此規則將不起作用，這需要更高階的方法。積分常數是必需的，因為如果一個常數（即沒有 x 的數字）被微分，它將變為零，而僅僅透過積分無法確定該常數的值。

例如

$\int 2x\,\,dx$

變為

$\displaystyle y=x^{2}+c$

積分分數

分母中帶有 x 項的分數不能直接積分；x 項必須被移到運算行。這可以透過指數定律輕鬆完成。

例如

$\int {\frac {2}{x^{2}}}\,\,dx=\int 2x^{-2}\,\,dx$

確定常數 c 的值

您可能會被給定曲線上的一點，並要求確定積分常數 c 的值。這很簡單，因為該點被給出為 $(x,y)$；x 和 y 的值可以代入並求解 c。

例項

曲線 c 的斜率由 ${\frac {dy}{dx}}=2x$ 給出。

點 $(3,12)$ 位於 c 上。因此，求 c 的方程。

$y=\int 2x\,\,dx$

$y=x^{2}+c$

代入 x = 3，y = 12 的值。

$12=3^{2}+c$

$12-9=c$

$3=c$

$y=x^{2}+3$