A-level 數學/MEI/C1/座標幾何

座標是描述位置的一種方法。在二維空間中，位置由兩個垂直方向給出，即 *x* 和 *y*。

直線

直線具有固定的斜率。直線的斜率和 y 軸截距是區分一條直線與另一條直線的兩個主要資訊。

直線方程

直線的最常見形式是 $y=mx+c$。m 是直線的斜率，c 是直線與 y 軸的交點。當 c 為 0 時，直線經過原點。

方程的其他形式是 $x=a$，用於斜率為無窮大的垂直線，$y=b$，用於斜率為 0 的水平線，以及 $px+qy+r=0$，它通常用於某些直線，作為更簡潔的方程寫法。

求直線方程

您可能需要求直線方程，並且只給出了直線上一點的座標和直線的斜率。這個點可以看作 $({x_{1}},{y_{1}})$，座標和斜率可以代入公式 $y-{y_{1}}=m(x-{x_{1}})$。然後只需要將公式重新整理成 $y=mx+c$ 的形式。

您可能只給出了兩點，$({x_{1}},{y_{1}})$ 和 $({x_{2}},{y_{2}})$。在這種情況下，使用公式 $m={\frac {{y_{2}}-{y_{1}}}{{x_{2}}-{x_{1}}}}$ 來求斜率，然後使用上面的方法。

直線斜率

直線的陡峭程度可以用其斜率來衡量，斜率是 *y* 方向的增量除以 *x* 方向的增量。字母 *m* 用於表示斜率。

$m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

平行線和垂直線

透過兩條直線的斜率，我們可以判斷它們是平行、垂直還是既不平行也不垂直。兩條直線平行，當且僅當它們的斜率相等， $m_{1}=m_{2}$。兩條直線垂直，當且僅當它們的斜率乘積為 -1， $m_{1}\times m_{2}=-1$

兩點間的距離

使用兩點的座標，可以透過勾股定理計算它們之間的距離。

任何兩點 A$({x_{1}},{y_{1}})$ 和 B$({x_{2}},{y_{2}})$ 之間的距離由以下公式給出 ${\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$

直線的中間點

當兩點的座標已知時，中點是這兩個點之間一半的位置。對於任何兩點 A$({x_{1}},{y_{1}})$ 和 B$({x_{2}},{y_{2}})$，AB 的中點的座標可以透過以下公式求得 $\left({\frac {{x_{1}}+{x_{2}}}{2}},{\frac {{y_{1}}+{y_{2}}}{2}}\right)$.

直線的交點

任何兩條直線都會相交於一點，除非它們平行。你可以透過求解兩個方程組來找到交點。直線會在一個不同的點相交（如果方程組有解）或者根本不會相交（如果它們平行）。然而，曲線可以與直線或另一條曲線相交於多個點。

曲線

要繪製一條曲線的圖形，你只需要知道曲線的總體形狀以及其他重要的資訊，例如 x 和 y 軸的截距以及任何最大值和最小值的點。

形式為 $y=x^{n}$ 的曲線

以下是曲線 $y=x^{1}$，$y=x^{2}$，$y=x^{3}$ 和 $y=x^{4}$ 的影像。

(需要稍後繪製這些圖形，只需為每條曲線繪製簡單的黑白曲線草圖)

注意 $x$ 的奇次冪曲線都具有相同的總體形狀，從左下角移動到右上角，以及 $x$ 的偶次冪曲線都具有相同的“桶形”曲線。

形式為 $y={\frac {1}{x^{n}}}$ 的曲線

就像之前一樣，$x$ 的偶次冪曲線都具有相同的總體形狀，而 $x$ 的奇次冪曲線也具有相同的總體形狀。

(此處為影像)

所有這種形式的曲線都沒有 $x=0$ 的值，因為 ${\frac {1}{0}}$ 是未定義的。在 $x$ 軸和 $y$ 軸上都有漸近線，曲線會越來越慢地向其靠近，但永遠不會真正觸碰。

直線和曲線的交點

當一條直線與一條曲線相交時，可以透過將直線的方程代入曲線的方程來找到交點。如果直線形式為 $y=mx+c$，那麼您可以將所有 $y$ 替換為 $mx+c$，然後展開方程，然後因式分解結果的二次方程。

曲線的交點

可以使用與直線和曲線相同的方法。但是，它僅適用於簡單情況。當代數方法失敗時，您將需要求助於圖形方法或數值方法。在考試中，您只需要使用代數方法。

圓

圓被定義為所有與單個點距離固定的點的軌跡。單個點是圓的圓心，固定距離是它的半徑。這個定義是圓方程的基礎。

圓的方程

圓的方程為 ${x^{2}}+{y^{2}}=r^{2}$，其中圓心為 (0,0)，半徑為 r，以及 ${(x-a)^{2}}+{(y-b)^{2}}=r^{2}$，其中圓心為 (a,b)，半徑為 r。

例如，方程為 ${(x+2)^{2}}+{(y-3)^{2}}=25$ 的圓的圓心為 (-2,3)，半徑為 5。

圓幾何

在解決問題時，一開始可能看起來沒有給你足夠的的資訊。然而，有一些事實可以幫助你發現與圓相關的直角。

• 半圓中的角是直角
• 從圓心到弦的垂線平分弦
• 圓上一點的切線與過該點的半徑垂直