A 級數學/MEI/C4/三角學/倒數三角函式

倒數函式

檔案:Y=csc(x).gif

y=csc(x) 的圖形（以弧度為單位）

檔案:Y=sec(x).gif

y=sec(x) 的圖形（以弧度為單位）

檔案:Y=cot(x).gif

y=cot(x) 的圖形（以弧度為單位）

除了經典的 3 個三角函式之外，您還必須瞭解另外 3 個函式；即我們標準函式的倒數。我們有餘割（csc）、正割（sec）和餘切（cot）。它們定義如下

• $\csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}$
• $\sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}$
• $\cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}$

每個函式在 $\theta$ 的某些值上是未定義的。例如；當 θ=0、180、360... 時，cscθ 未定義，因為 sinθ 在這些點上等於 0。

這些函式的圖形都具有 180 度間隔的漸近線。

一些新的恆等式

使用我們對倒數函式的新定義，我們可以根據畢達哥拉斯定理得到 2 個新的恆等式。

$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$

兩邊都除以 $\cos ^{2}\theta$

${\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}+{\frac {\cos ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}$

$\tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta$

還有一個第二個恆等式

$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$

兩邊都除以 $\sin ^{2}\theta$

${\frac {\sin ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}+{\frac {\cos ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}={\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}$

$1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta$

例子

問題 1：'求 csc 120，將你的答案寫成根式形式'

解決方案

• $\csc 120={\frac {1}{sin120}}$
• $=1/{\frac {\sqrt {3}}{2}}$
• $={\frac {2}{\sqrt {3}}}$

問題 2: 在區間 0≤x≤360 內找到所有滿足以下條件的 x 值

$\sec ^{2}x=4+2\tan x$

解決方案

• $\sec ^{2}x=4+2\tan x$
• $\tan ^{2}x+1=4+2\tan x$
• $\tan ^{2}x-2\tan x-3=0$
• $(\tan x-3)(\tan x+1)=0$
• $\tan x=3or\tan x=-1$
• 如果 $\tan x=3$
• $x=71.6,251.6$
• 如果 $\tan x=-1$
• $x=135,315$
• $x=71.6,135,251.6,315$