A-level 數學/MEI/FP2/矩陣

本節旨在擴充套件在 FP1 中關於矩陣的資訊，涉及 3x3 矩陣、特徵向量和特徵值以及凱萊-哈密頓定理。

3x3 矩陣的行列式

如何求行列式

3x3 矩陣 $M={\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}}$ 的行列式由下式給出
$|M|={\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}=a_{1}{\begin{vmatrix}b_{2}&c_{2}\\b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}-a_{2}{\begin{vmatrix}b_{1}&c_{1}\\b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}+a_{3}{\begin{vmatrix}b_{1}&c_{1}\\b_{2}&c_{2}\end{vmatrix}}$

要找到 3x3 矩陣的行列式，需要選擇一行或一列作為起點。在上面的例子中，選擇了第一列（$a$）。然後選擇此列的第一個元素（即 $a_{1}$）並將其乘以其 *餘子式*。 $a_{1}$ 的餘子式是透過劃掉包含 $a_{1}$ 的行和列來得到的，在本例中，得到矩陣 ${\begin{pmatrix}b_{2}&c_{2}\\b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}}$。*餘子式* 是此矩陣的行列式。 $a_{2}$ 和 $a_{3}$ 的餘子式分別是 ${\begin{vmatrix}b_{1}&c_{1}\\b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}$ 和 ${\begin{vmatrix}b_{1}&c_{1}\\b_{2}&c_{2}\end{vmatrix}}$。為了確定擴充套件項之前的符號，使用以下矩陣：${\begin{pmatrix}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{pmatrix}}$。餘子式及其對應的符號被稱為 *代數餘子式*。 $a_{1}\,$ 的代數餘子式可以寫成 $A_{1}\,$。

因此，如果您選擇第二列（$b\,$），則行列式將透過以下方式求得：
${\displaystyle |M|={\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&$

示例

求矩陣 $M\,$ 的行列式，其中 $M={\begin{pmatrix}5&7&2\\1&9&4\\2&6&3\end{pmatrix}}$

解：- $|M|={\begin{vmatrix}5&7&2\\1&9&4\\2&6&3\end{vmatrix}}=$ $5{\begin{vmatrix}9&4\\6&3\end{vmatrix}}-1{\begin{vmatrix}7&2\\6&3\end{vmatrix}}+2{\begin{vmatrix}7&2\\9&4\end{vmatrix}}=$
$5(9\times 3-6\times 4)-1(7\times 3-6\times 2)+2(7\times 4-9\times 2)=\,$
$5(27-24)-1(21-12)+2(28-18)=\,$
$15-9+20=\,$
${\underline {26}}$

或者，也可以使用薩呂斯方法來求解 3x3 矩陣的行列式。請注意，薩呂斯方法不適用於更高維矩陣（例如 4x4 矩陣）。

3x3 矩陣的逆矩陣

3x3 矩陣的逆矩陣的求解方法與 2x2 矩陣相似。回顧一下，2x2 矩陣 $M={\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}$ 的逆矩陣可以透過以下方式求解
$\mathbf {M} ^{-1}={1 \over det\mathbf {M} }{\begin{pmatrix}d&-c\\-b&a\end{pmatrix}}$

可以證明（使用行列式的性質）${\begin{pmatrix}A_{1}&A_{2}&A_{3}\\B_{1}&B_{2}&B_{3}\\C_{1}&C_{2}&C_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}|\mathbf {M} |&0&0\\0&|\mathbf {M} |&0\\0&0&|\mathbf {M} |\end{pmatrix}}$
因此，透過提出 |M|，${1 \over |\mathbf {M} |}{\begin{pmatrix}A_{1}&A_{2}&A_{3}\\B_{1}&B_{2}&B_{3}\\C_{1}&C_{2}&C_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
這表明 ${1 \over |\mathbf {M} |}{\begin{pmatrix}A_{1}&A_{2}&A_{3}\\B_{1}&B_{2}&B_{3}\\C_{1}&C_{2}&C_{3}\end{pmatrix}}$ 是 $M\,$ 的逆矩陣。矩陣 ${\begin{pmatrix}A_{1}&A_{2}&A_{3}\\B_{1}&B_{2}&B_{3}\\C_{1}&C_{2}&C_{3}\end{pmatrix}}$ 被稱為 **伴隨** 或 **伴隨** 矩陣 **M**。它是透過用相應的餘因子替換矩陣的每個元素，然後轉置（將矩陣的行與列互換）矩陣得到的。

特徵向量和特徵值

考慮一個透過矩陣實現的變換——為了便於說明，一個比例因子為 2 的放大變換。如果我們考慮穿過原點的直線，在進行變換後，每條穿過原點的直線上的每個點都會對映到其直線上的另一個點，但原點對映到自身。我們可以說，如果 $\mathbf {M}$ 是負責該變換的矩陣，而 $\mathbf {s}$ 是直線上的“點”（以列向量的形式——即 1x2 矩陣的形式），那麼 $\mathbf {Ms} =\lambda \mathbf {s}$；在比例因子為 2 的示例中，$\lambda$ 將為 2。每個經過矩陣的點都將變成它自身的倍數；該倍數將為 2。

我們可以進一步將這種情況推廣到超越簡單放大的情況。正式地，我們可以說，如果 $\mathbf {s}$ 是一個非零向量，使得 $\mathbf {Ms} =\lambda \mathbf {s}$，其中 $\mathbf {M}$ 是一個矩陣，而 $\lambda$ 是一個標量，那麼 $\mathbf {s}$ 被稱為 $\mathbf {M}$ 的 特徵向量。標量 $\lambda$ 被稱為 特徵值。

讓我們用一個例子來解釋這一點

由於

${\begin{pmatrix}4&2\\1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=5{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$

並且

${\begin{pmatrix}4&2\\1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix}}=2{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}$

必須是 ${\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$ 和 ${\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}$ 分別是矩陣 $\mathbf {M} ={\begin{pmatrix}4&2\\1&3\end{pmatrix}}$ 的特徵向量，分別對應特徵值 5 和 2。很快就會發現，它們是唯一 的兩個特徵值。

請注意，這兩個特徵向量的所有非零標量倍數也是 $\mathbf {M}$ 的特徵向量，並且具有相同的特徵值。同樣，在變換下，特徵向量被放大了與其特徵值相等的比例因子，並且特徵向量的方向在變換下保持不變。

在尋找特徵向量時，你需要能夠解方程 $\mathbf {Ms} =\lambda \mathbf {s}$

• $\mathbf {Ms} =\lambda \mathbf {s}$
• $\mathbf {Ms} -\lambda \mathbf {s} =\mathbf {0}$
• $\mathbf {Ms} -\lambda \mathbf {Is} =\mathbf {0}$（此處不需要使用單位矩陣）
• $(\mathbf {M} -\lambda I)\mathbf {s} =\mathbf {0}$（但在這裡至關重要！）

顯然，$\mathbf {s} =\mathbf {0}$ 始終是解，但沒有意義。對於非零解，我們需要${\mbox{det(}}\mathbf {M-I} \lambda {\mbox{)}}=\mathbf {0}$。這個方程稱為特徵方程，而由此得到的（求行列式得到的）多項式稱為特徵多項式。

這導致了求特徵向量的三個步驟。

1. 建立特徵方程${\mbox{det(}}\mathbf {M-I} \lambda {\mbox{)}}=\mathbf {0}$
2. 解特徵方程以求得特徵值，$\lambda$
3. 對於每個特徵值，透過求解$\mathbf {Ms} =\lambda \mathbf {s}$或$(\mathbf {M} -\lambda \mathbf {I} )\mathbf {s} =\mathbf {0}$，找到相應的特徵向量。

無論 M 的大小如何，這都是正確的。

2x2 和 3x3 矩陣的冪

$\mathbf {M} ^{n}=\mathbf {SA} ^{n}\mathbf {S} ^{-1}$

凱萊-哈密頓定理

"每個方陣M都滿足它自己的特徵方程。"