近似值

即使我們努力做到儘可能精確，也很難給出某些事物的精確答案。例如，如果你要測量你的身高，由於各種因素，你得到的數值可能與你實際的身高不符；但它與你的實際身高非常接近。例如，最接近的釐米。這個值就是你實際身高的近似值。

以 $e$ 為例，你永遠無法精確地寫出 $e$ ，因為它是不合理的；它永遠不會結束。 $e$ 的前 100 位小數是

2. 7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274

無論這個數字與 $e$ 的實際值有多精確，它仍然是一個近似值。

近似值出現的幾個主要原因是

精確測量的困難
四捨五入
簡化模型
計算機只能使用有限的小數位數
沒有必要再精確了

誤差

在撰寫本文時，美國執行的“人口時鐘”顯示美國有 316,356,429 人。但是，許多資料來源會說人口是 300,000,000 人。這意味著這些資料來源正在近似這個值。

為了找到這個近似值的誤差，我們執行以下操作

$300000000-316356429=-16356429$ $300000000-316356429=-16356429$

MEI 定義誤差為

'當一個精確值 x 被近似為 X 時，誤差 ε 由以下公式給出： ε = X - x

注意，如果近似值過大，則誤差為正，如果近似值過小，則誤差為負。'

簡而言之，誤差是衡量估計值與實際值之間距離的指標。

除此之外，我們還有絕對誤差，它實際上是誤差的大小。

MEI 將其定義為

'當一個精確值 x 被近似為 X 時，絕對誤差定義為誤差的模。

絕對誤差 = |ε| = |X - x|'

誤差的模意味著它的量級；它有多大。該數字的正值。

雖然瞭解估計值的誤差和絕對誤差很好，但很難比較它們。假設我正在比較兩種測量技術。一種觀察原子的尺寸，另一種觀察星系的尺寸。由於星系遠大於原子，誤差自動會更大，這並非一個公平的比較。此時，我們使用相對誤差。

MEI 將相對誤差定義為

'一個有用的誤差度量是相對誤差。 它定義為：

${\text{relative error}}={\frac {\text{error}}{\text{exact value}}}={\frac {\epsilon }{x}}$ '

相對誤差衡量的是誤差與精確值的比率，使其更好地表示所涉及的誤差。

與以前一樣，我們還有相對誤差的不同版本；絕對相對誤差

MEI 將其定義為

'當一個精確值 x 被近似為 X 時，絕對相對誤差是相對誤差的模，定義為：

${\text{absolute relative error}}=\left|{\frac {\text{error}}{\text{exact value}}}\right|=\left|{\frac {\epsilon }{x}}\right|=\left|{\frac {X-x}{x}}\right|$

同樣，它是誤差與精確值的比率，但這次值始終為正。

四捨五入和區間估計

四捨五入

四捨五入是簡化數字的一種方法，在這種方法中，數字的完整值並不必要。

通常，數字會四捨五入到一定的小數位數或有效數字。新的四捨五入後的值現在是原始值的近似值。

如果 x 是我們要舍入到的位數，那麼當我們舍入到 x 位小數時，這意味著我們在小數點後舍入 x 位。如果我們舍入到 x 位有效數字，我們將在第一個非零項後舍入 x 位。

例子

1. '將 48.7564 舍入到小數點後兩位'

解答

檢視第三位小數，它大於 5。這意味著我們將向上舍入。

⇒ =48.76

2. '將 690354.23 舍入到 4 位有效數字'

解答

檢視第五位數字。它小於 5，所以我們向下舍入。

⇒ =690300

通常，我們會在數字後面寫上數字舍入到的有效數字 (s.f) 位數，就像我們最後一個例子一樣，690300 可以是 4 位有效數字、5 位有效數字或精確值。我們的應該是 =690300(舍入到 4 位有效數字)

區間估計

考慮以下語句："y 的值精確到小數點後一位是 2.5"。這意味著如果你將 y 四捨五入到小數點後一位，你將得到 2.5。這意味著 y 可以是任何四捨五入到小數點後一位為 2.5 的值。

為了克服這個問題，我們需要考慮 y 能取到的最小值和最大值，以便它四捨五入到 2.5。這些數字分別是 2.45 和 2.55。因此，我們的值 y 介於 2.45 和 2.55 之間。我們可以這樣寫：

2.45 ≤ y < 2.55

這意味著 y 大於或等於 2.45，但小於 2.55。它不能等於 2.55，因為這將四捨五入到 2.6，但是 2.549999999999999... 將四捨五入到 2.5，這實際上是 2.55。

這是一個區間估計的例子。它也可以這樣寫： [2.45, 2.55)，其中方括號表示包含該數字，圓括號表示不包含該數字。在這種情況下，2.45 被稱為該數字的下界，2.55 被稱為上界。

任何一個數字 x 的值介於兩個數字之間的語句都稱為 x 的區間估計。

MEI 的說法如下：

"**當已知一個精確值 x 介於兩個值 a 和 b 之間時，x 就存在一個區間估計。**"

它可以採用以下形式之一：

a < x < b， a < x ≤ b， a ≤ x < b， a ≤ x ≤ b。

"**a 被稱為 x 的下界，b 被稱為 x 的上界。**"

也可以從它的區間估計中獲得一個值的近似值；例如：

在區間 1.13 ≤ x < 1.141 中，我們想找到精確到儘可能多的小數位的 x。我們可以看到這兩個數字都四捨五入到小數點後一位為 1.1。這是我們能獲得的與其實際值最接近的值，因為精確到小數點後兩位，它可以是 1.13 或 1.14。

現在，在區間估計 7.8 ≤ x < 8 中，我們想找到 x 值的最佳近似值。這意味著該值的絕對誤差將盡可能小。如果我們取 7.8 和 8 的中點，我們會發現 7.9 是中點。它正好離這兩個數字 0.1，這意味著我們對 x 的最佳估計是 7.9，最大絕對誤差為 0.1。

待辦事項
內容幾乎完成，但將來需要重寫。將來將新增更多示例和問題。~ollz272