A-level 數學/MEI/NM/積分

進行定積分可以看作是在圖上找到曲線下的面積。您可能在其他地方遇到過用將複雜形狀分解成易於計算面積的簡單形狀來找到複雜形狀面積的想法。我們在數值積分中使用類似的技術——我們用一系列簡單形狀來近似曲線，並將這些形狀的面積加起來得到積分的值。

中點規則

中點規則的插圖。

此方法使用矩形來近似曲線。每個矩形的高度由矩形中間的函式值給出，所有矩形具有相同的寬度。

我們將要積分的區間 [a, b] 分成 n 個等寬的條帶。然後每個條帶的寬度為 h = (b - a)/n。

我們將 a 處的 x 值寫為 x₀，第一個矩形的末端為 x₁，第二個矩形的末端為 x₂，等等。x_r 是 r 個條帶右側的 x 值，因此 x_r = a + r * h。

還要注意，在 x₀ 處計算的 f(x) 可以寫成 f₀，在 x₁ 處計算的 f(x) 可以寫成 f₁，等等。在 x_r 處計算的 f(x) 的值為 f_r。

每個近似矩形的面積是 h 乘以在矩形中間計算的 f(x)。按照上述符號，在第一條帶的中間計算的 f(x) 的值為 f_0.5，因此第一條帶的近似矩形的面積為 h f_0.5。

因此，對於 n 個條帶，總面積為

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx\approx h(f_{0.5}+f_{1.5}+\ldots +f_{n-1.5}+f_{n-0.5})$