A-level 數學/OCR/C4/高階微分

在 Core 4 中，我們將討論三角函式的導數、隱函式微分和引數微分。

三角函式的導數

為了找到所有六個三角函式的導數，你只需要知道正弦和餘弦函式的導數。需要注意的是，在處理導數時，你的角度需要用弧度表示。

如果 $y=\sin kx,\,$ 那麼 ${\frac {dy}{dx}}=k\cos kx$.

如果 $y=\cos kx,\,$ 那麼 ${\frac {dy}{dx}}=-k\sin kx$.

如果 $y=\tan kx,\,$ 那麼 ${\frac {dy}{dx}}=k\sec ^{2}kx$.

如果 $y=\operatorname {cosec} \ kx,\,$ 那麼 ${\frac {dy}{dx}}=-k\operatorname {cosec} \ kx\cot kx$.

如果 $y=\sec kx,\,$ 那麼 ${\frac {dy}{dx}}=k\tan kx\sec kx$.

如果 $y=\cot kx,\,$ 那麼 ${\frac {dy}{dx}}=-k\operatorname {cosec} ^{2}\ kx$.

隱函式微分

在 C3 中，我們學習瞭如何微分形如 y=f(x) 的顯式方程，直接獲得 dy/dx 的結果，也是 x 的函式。在 C4 中，雖然仍然使用這些技術，但你需要知道如何微分隱式函式。也就是說，微分方程 f(x,y)=g(x,y) 的兩邊。

在隱函式求導中，所有正常的求導規則都適用，但是當求y關於x的導數時，由於鏈式法則，結果必須包含一個額外的dy/dx項。

${\frac {d}{dx}}(f(y))=f'(y)\cdot {\frac {dy}{dx}}$

因此，像熟悉的“乘以冪，降低冪”這樣的規則在本質上仍然適用，儘管必須包含dy/dx。當隱式求導時，仍然需要依次對每個項進行求導。例如，一道題目可能會要求你對以下等式的兩邊關於x求導

$\sec(y)+x^{2}=3x+2y+1\;$

對每個項關於x求導，我們得到

$\sec(y)tan(y)\cdot {\frac {dy}{dx}}+2x=3+2\cdot {\frac {dy}{dx}}$

一般來說，題目會要求一個關於x和y的函式，該函式給出某個特定點的梯度。因此，我們需要重新排列dy/dx的表示式。

$\sec(y)tan(y)\cdot {\frac {dy}{dx}}-2\cdot {\frac {dy}{dx}}=3-2x$

${\frac {dy}{dx}}(\sec(y)tan(y)-2)=3-2x$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {3-2x}{sec(y)tan(y)-2}}$

從這一點開始，你可能需要代入x和y的值才能計算曲線上的特定位置的dy/dx的值。如果需要的是值，而不是表示式，可以在重新排列之前進行代入（以幫助因式分解）。在某些情況下，題目可能會要求你找到滿足特定dy/dx值的曲線上點的座標。在這種情況下，你需要找到微分方程滿足的x值，或者一個將x和y聯絡起來的方程，然後將它代入曲線的原始方程。這通常會導致多個點滿足給定的條件。

以（作為簡單的例子）曲線

$x^{3}+y^{3}=5x\;$

為例，我們被一些任意的問題要求找到dy/dx=0的點。

雖然我們可以很容易地重新排列它以得到一個顯式函式，但為了演示，我們將使用隱函式求導。關於x求導得到

$3x^{2}+3y^{2}{\frac {dy}{dx}}=5$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {5-3x^{2}}{3y^{2}}}=0$

$5-3x^{2}=0\;$

$x=\pm {\sqrt {\frac {5}{3}}}\;$

因此，我們只需將該值代入原始隱式方程，並求解 y（兩次）。在某些情況下，您可能會發現 x 是 y 的函式（根據給定的條件），而不僅僅是一個值。在這種情況下，只需求解一對聯立方程即可。

那麼“xy”這個項呢？好吧，我們只需應用乘積法則

$(uv)'=vu'+uv'\;$其中 u 和 v 在這種情況下是 x 或 y 的函式。

$(xy)'=y\cdot 1+x\cdot {\frac {dy}{dx}}$

同樣

$(x^{2}y)'=y\cdot 2x+x^{2}\cdot {\frac {dy}{dx}}$

相關變化率和微分方程

在這個相當有趣的主題中，您將研究變化率如何相互影響，以及如何在給定情境描述的情況下編寫微分方程。同樣，C4 只是找到了一種使原本簡單的過程變得複雜的方法——主要困難不在於數學本身。在於將一段話轉換成一行。通常，問題需要了解在微分中使用鏈式法則。

對於 C4，我們主要感興趣的是

• 漏水箱
• 汙漬或其他圓形形狀

讓我們想象這樣一個場景：有一個體積為 V 的水箱。它的內容物以與水箱內包含的量成正比的速度洩漏。因此，我們可以將其寫成

${\frac {dV}{dt}}=-kV$

負號表示水箱正在洩漏。接下來，讓我們說除了這個，還有一個強制性水龍頭以 5 $m^{3}t^{-1}$ 的恆定速率向水箱供水。

${\frac {dV}{dt}}=5-kV$

那麼，高度相對於時間的變化率是多少？首先，我們需要檢查將高度與體積聯絡起來的方程。假設水箱是橫截面均勻的圓柱體，我們可以說

$V=\pi r^{2}h\;$，其中 r 是水箱在任何點的半徑，h 是包含的體積的高度。

對 h 求導，得到

${\frac {dV}{dh}}=\pi r^{2}$

${\frac {dh}{dV}}={\frac {1}{\pi r^{2}}}$

因此

${\frac {dh}{dt}}={\frac {dh}{dV}}\cdot {\frac {dV}{dt}}={\frac {1}{\pi r^{2}}}(5-kV)$

其中 k 是比例常數，通常由邊界條件確定。

引數微分

在引數幾何中，微分按正常方式進行。可以將曲線轉換為笛卡爾形式，也可以使用鏈式法則的結果來求解 dy/dx

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}\div {\frac {dx}{dt}}$