A 水平數學/OCR/C4/高階積分

涉及線性替換的積分

用線性替換積分函式與反向執行鏈式法則相同。在核心四中，我們將核心三中學習的知識形式化。然而，我們在核心三中學習的過程在核心四中也是相同的。為了積分函式 $\int f^{'}[g(x)].g^{'}(x)\,dx=f[g(x)]+c$.

示例

積分 12cos(12x + 9).

1. g(x) = 12x + 9 且 ${\frac {dg(x)}{dx}}=12$
2. sin(12x+9) + C

分部積分法

分部積分法並沒有像替換法那樣真正解決問題，而是將函式轉換為（希望）更容易積分的函式，無論是透過替換還是其他方式。

考慮乘積法則

${\frac {dy}{dx}}=v{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dv}{dx}}$

積分這個規則得到

$\int {\frac {dy}{dx}}\,dx=\int v{\frac {du}{dx}}\,dx+\int u{\frac {dv}{dx}}\,dx$

$\Rightarrow \int {\frac {dy}{dx}}\,dx-\int v{\frac {du}{dx}}\,dx=\int u{\frac {dv}{dx}}\,dx$

$\Rightarrow \int u{\frac {dv}{dx}}\,dx=uv-\int v{\frac {du}{dx}}\,dx$

我們需要積分的函式現在已經從 $u{\tfrac {dv}{dx}}$ 變為 $v{\tfrac {du}{dx}}$

示例

積分 $xe^{x}$ 關於 $x$

1. $u=x\Rightarrow {\tfrac {du}{dx}}=1$
2. ${\tfrac {dv}{dx}}=e^{x}\Rightarrow v=e^{x}$
3. $\int xe^{x}\,dx=xe^{x}-\int 1\cdot e^{x}\,dx$
4. $=xe^{x}-e^{x}+c\,\!$
5. $=(x-1)e^{x}+c\,\!$

另一個更復雜的例子

對 $x^{2}e^{x}$ 關於 $x$ 進行積分

1. $u=x^{2}\Rightarrow {\frac {du}{dx}}=2x$
2. ${\frac {dv}{dx}}=e^{x}\Rightarrow v=e^{x}$
3. $\int x^{2}e^{x}\,dx=x^{2}e^{x}-\int 2x\cdot e^{x}\,dx$
4. 現在我們可以再次對 $\int 2x\cdot e^{x}\,dx$ 使用分部積分法
5. $u=2x\Rightarrow {\frac {du}{dx}}=2$
6. ${\frac {dv}{dx}}=e^{x}\Rightarrow v=e^{x}$
7. $x^{2}e^{x}-\int 2x\cdot e^{x}\,dx=x^{2}e^{x}-(2xe^{x}-\int 2e^{x}\,dx)$
8. $=x^{2}e^{x}-2xe^{x}+2e^{x}+c\,\!$
9. $=e^{x}(x^{2}-2x+2)+c\,\!$