A-level 數學/OCR/FP2/數值方法

牛頓-拉夫森法

找到函式根的最佳方法是使用牛頓-拉夫森法；該方法使用一系列切線來估計根的值。該序列的第一個數字是從先前方法中的一個或半隨機選擇。當 $x_{n}=x_{n+1}$ 到特定位數時，我們可以找到函式的值到一定程度。該方法可能並不總是有效，因為如果 f'(x) = 0，則該函式在此點將未定義，該函式將發散。

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f\left(x\right)}{f'\left(x\right)}}$

示例

我們上面的圖實際上是牛頓用來演示該理論的同一個函式。求該根的值，精確到小數點後六位。我們將使用 2.05 作為第一個值。

$f'(x)=3x^{2}-2$

$x_{2}=2.05-{\frac {(2.05)^{3}-2(2.05)-5}{3(2.05)^{2}-2}}=2.095710$

現在我們使用這個輸出作為下一個輸入，依此類推。

$x_{2}=2.095710-{\frac {(2.095710)^{3}-2(2.095710)-5}{3(2.095710)^{2}-2}}=2.094552$

$x_{3}=2.094552-{\frac {(2.094552)^{3}-2(2.094552)-5}{3(2.094552)^{2}-2}}=2.094551$

$x_{4}=2.094552-{\frac {(2.094552)^{3}-2(2.094552)-5}{3(2.094552)^{2}-2}}=2.094551$

該根約為 2.094551。如果我們將它代入原始函式，我們得到 -.00000000000004，它非常接近於零。