A 級數學/OCR/M1/直線運動的運動學

運動學介紹

運動學是研究物體的運動，但不研究產生運動的方式。研究球體透過拋物線軌跡的運動屬於運動學。研究球體是如何被丟擲的屬於力學。運動學是物理學中最有用的部分之一，它有著廣泛的應用。事實上，許多動力學都使用運動學關係。

當我們考慮物體速度時，我們不討論方向。以 20 m/s 的速度向上丟擲的球與以相同速度向任何其他方向丟擲的球等效。然而，這些運動是截然不同的，重力將對球產生不同的作用。因此，物體運動的完整討論取決於方向和速度。我們結合起來得到一個向量量，稱為速度，用 ${\vec {v}}$ 表示。

然後，解釋它們的對等物：速度和位移（使用圖表），並表明它們是向量量（在 1 維中提供示例）。

勻加速運動

解釋勻加速運動以及我們為什麼透過假設它是恆定的來簡化問題，並展示如何解決一些涉及勻加速運動的問題

在 1 維中勻加速運動的物體，其運動學量由 SUVAT 方程控制。S 是位移，U 是起始速度，V 是最終速度，A 是加速度，T 是時間。知道其中的三個量就可以找到另外兩個量。方程如下

$v=u+at$

$s=ut+{\frac {1}{2}}a{t}^{2}$

$s=vt-{\frac {1}{2}}a{t}^{2}$

$s={\frac {u+v}{2}}t$

${v}^{2}={u}^{2}+2as$

例如，從 2 米高的懸崖上掉落的粒子在重力作用下加速，有 $u=0{\text{ ms}}^{-1}$，$a=-9.8{\text{ ms}}^{-2}$，和 $s=2{\text{ m}}$。如果你想找到下降所需的時間，你需要將這些值代入 $s=ut+{\frac {1}{2}}a{t}^{2}$ 並求解 t。

運動學量之間的關係

顯示 (t,x) 和 (t,v) 圖，並強調記憶每個圖的特徵

(i) (t,v) 圖下的面積表示位移，

(ii) (t, x) 圖的斜率表示速度，

(iii) (t,v) 圖的斜率表示加速度；

使用微積分推導運動學量

我們已經看到 (x,t) 圖如何顯示任何時刻 t 的位置 x。這意味著位置 x 是時間 t 的函式。

位置

由於運動發生在時間中，運動點的位移是時間的函式。沿著 x 軸移動的點的運動可以用位移 x(t) 來描述，該位移是時間 (時刻) t 的函式。以恆定速度在正方向移動的點可以描述為

$x(t)=1+3t$.

從這個等式中我們瞭解到

$x(0)=1+3\times 0=1$

這意味著運動從時間 t = 0 開始，在點 x = 1 開始。在時刻 t=1 時，點已到達點 x = 4，我們可以透過計算得出

$x(1)=1+3\times 1=4$.

在時刻 t=2 時，點已到達點 x = 7

$x(2)=1+3\times 2=7$.

請注意，在第一個時間單位內：從 t = 0 到 t = 1，點從 x = 1 移動到 x = 4，因此在距離上前進 3 個單位；在第二個時間單位內，從 t = 1 到 t = 2，它從 x = 4 移動到 x = 7，再次前進 3 個單位。它似乎每時間單位在距離上前進 3 個單位，這意味著它以 3 的恆定速度移動。

速度

如果點以恆定速度 t 移動，則該速度可以從它從一個位置移動到另一個位置所花費的時間來計算。如果，如上面的示例，它花費 1 個時間單位移動距離 3，即從 x = 1 到 x = 4，則速度必須為 v = 3/1 = 3。我們可以從它花費 2 個時間單位移動距離 6 的事實來計算這個速度，即從 x = 1 到 x = 7，因此 v = 6/2 = 3。

一般來說，我們透過檢視從 t = t₁ 到 t = t₂ 的時間間隔來計算恆定速度的運動速度，在該時間間隔內，點從 x = x(t₁) 移動到 d = x(t₂)，作為移動距離與所花費時間之商

$v={\frac {\mathrm {travelled\;distance} }{\mathrm {required\;time} }}={\frac {x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}$.

我們透過計算任意時間間隔的速度 v 來驗證上面的示例中的速度確實是恆定值 3

$v={\frac {x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}={\frac {(1+3t_{2})-(1+3t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}={\frac {3t_{2}-3t_{1}}{t_{2}-t_{1}}}={\frac {3(t_{2}-t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}=3$.

對於以恆定速度 v 運動的運動，運動方程為

$x(t)=x(0)+vt$.

一般來說，運動不會以恆定速度進行。讓我們舉一個例子，其中

$x(t)=1+3t+2t^{2}$.

它在 t = 0 時從 x(0) = 1 開始。在 t = 1 時，它到達 x(1) = 1 + 3 + 2 = 6。這段時間間隔內的平均速度，或者說在這個軌跡上的平均速度是

${\overline {v}}={\frac {x(1)-x(0)}{1-0}}={\frac {6-1}{1}}=5$.

但在最後的時間單位內

${\overline {v}}={\frac {x(2)-x(1)}{2-1}}={\frac {(1+6+8)-(1+3+2)}{1}}=9$.

速度增加了。速度也是時間 v(t) 的函式。但時間 t 時刻的（瞬時）速度 v(t) 是什麼呢？我們可以透過取一個從 t 到 t + h 的（非常）小的的時間間隔來計算這個速度。然後這段時間間隔內的平均速度大約等於時間 t 時刻的速度。我們透過讓時間間隔縮小到零並取極限來獲得速度的精確值，這不僅僅是位置 x(t) 的導數

$v(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {x(t+h)-x(t)}{h}}={\frac {d}{dt}}x(t)$.

這裡就是最初的作者可以把他們的工作放回頁面的地方！

只需要記住保持簡單，可能不需要使用第一原理來解釋它。只用簡單的解釋如何從一個到另一個（位移、速度、加速度）以及透過微分或積分如何再返回即可