GRE 指南/排列組合

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排列組合

排列是一種順序重要的排列方式。在這種情況下，元素可能排列的數量為（位置 1 的可能性）（位置 2 的可能性）... 這可以用以下公式表示：

$P(n,k)={\frac {n!}{(n-k)!}}$ .

組合是一種順序不重要的排列方式。組合公式與排列公式相同，只是所有項都除以 $k!$ ，即位置階乘

$C(n,k)={\frac {n!}{(n-k)!k!}}$ .

假設凱瑟琳要打包去度假，從她的 27 件扎染襯衫中挑選 3 件帶上。她可以帶多少種襯衫組合？這個問題中順序不重要——選擇第 3 件襯衫、第 5 件襯衫和第 7 件襯衫與選擇第 7 件襯衫、第 3 件襯衫和第 5 件襯衫相同。因此，數量為

$C(n,k)=C(27,3)={\frac {27!}{24!3!}}={\frac {27!}{6(24!)}}={\frac {27\cdot 26\cdot 25}{6}}=2,925$

因此，有 2,925 種可能的襯衫排列方式。

如果上面的順序很重要——假設凱瑟琳在接下來的三天分別選擇一件特定襯衫——公式將不會除以 3!。它將僅僅是 (位置 1)(位置 2)(位置 3)，即 (27)(26)(25)，結果將是 17,550 種可能性。

請注意，可能性的數量遞減 (27, 26, 25)，因為襯衫不能重複使用。如果凱瑟琳選擇扎染襯衫來穿著接下來的三個星期一，並且有機會洗滌重複使用同一件襯衫，公式將是 (27)(27)(27)。

1. 一家比薩店有 8 種不同的配料可選。可以製作多少種不同的 3 種配料的比薩？

2. 李有 4 種不同的顏色用來給他的模型飛機塗漆。他將在機身上塗一種顏色，在尾舵上塗另一種顏色，在機頭上塗另一種顏色。李可以給他的飛機塗多少種不同的顏色？

3. 一道湯的食譜需要 6 種草藥中的任意 3 種。可以放進湯裡的 3 種草藥組合有多少種？

1. 56

在任何排列問題上，要問兩個問題——順序重要嗎？元素可以重複使用嗎？

順序不重要——義大利香腸、香腸和橄欖與橄欖、香腸和義大利香腸是一樣的。元素不能重複使用——比薩不能有香腸、香腸和香腸作為配料。它要麼有香腸，要麼沒有。因此，公式為

== 56

2. 64

順序重要——紅色機頭和藍色尾舵與藍色機頭和紅色尾舵不同。顏色可以重複使用——四種顏色都可以使用。因此，公式為

4(4)(4) = 64

3. 一道湯的食譜需要 6 種草藥中的任意 3 種。可以放進湯裡的 3 種草藥組合有多少種？

順序不重要——百里香、歐芹和牛至與牛至、歐芹和百里香在湯裡是一樣的。元素不能重複使用——湯必須有 6 種草藥中的 3 種。因此，公式為

== 20