Serre 算術/有限域使用者指南

一般性

本節介紹了本書中使用的許多基本概念。

有限域

本章從討論有限域的結構開始。給定一個域 $K$ ，它的**特徵**定義為最小的數 $n$ ，使得 $n\cdot 1$ 與 $K$ 中的零同餘。如果這個數 $n$ 是無界的，那麼我們說 $K$ 是**特徵為 0**。這是定義明確的，因為每個環都有一個唯一的態射 $\mathbb {Z} \to K$ 。

對於正特徵域，表示為 $\mathbb {F} _{q}$ ，其中 $q=|\mathbb {F} _{q}|$ ，他接著證明 $q=p^{f}$ ，其中 $p$ 是某個素數， $f\geq 1$ 是某個整數，並且該域的特徵為 $p$ 。

在陳述這個定理之前，他證明了一個引理，表明弗羅貝尼烏斯

\sigma :K\to K

由

\sigma (x)=x^{p}

給出，是一個單射同態，對映到

K^{p}

的一個子域（修正：

K

中的數字不變...）。這可以用來證明，對於

K

的代數閉包

\Omega

，

\sigma

是一個自同構。

該定理還指出，所有階為 $q=p^{f}$ 的有限域都與 $\mathbb {F} _{q}$ 同構。值得注意的是，觀察多項式及其導數的技術是一種常見且有用的技術工具。

你應該問自己的問題是

如何構造階數大於

p

的有限域？

我們可以利用實數的情況得到一個提示：我們應該看看二次多項式 $x^{2}-a$ 看看

{\frac {\mathbb {F} _{p}[x]}{(x^{2}-a)}}

是否是一個域。例如， $x^{2}-2$ 在 $\mathbb {F} _{5}$ 中沒有解，而 $x^{2}+1$ 有 $[2],[3]$ 為解。這意味著

{\frac {\mathbb {F} _{5}[x]}{(x^{2}-2)}}\cong \mathbb {F} _{25}

而

{\frac {\mathbb {F} _{5}[x]}{(x^{2}+1)}}\cong \mathbb {F} _{5}\times \mathbb {F} _{5}

本章的剩餘部分致力於構建工具來確定二次函式是否確定有限域的域擴充套件。請注意，這將為我們提供一種遞迴方法來查詢任何 $\mathbb {F} _{q}$ 。此外，我們將構建一個工具和一個定理，稱為勒讓德符號和高斯互反定理，以有效地確定 $x^{2}-a$ 是否確定域擴充套件或域的乘積。

有限域的乘法群

本節致力於證明乘法群 $\mathbb {F} _{q}^{*}$ 是階為 $q-1$ 的迴圈群。他透過證明一個更強的結果來做到這一點，即 $\mathbb {F} _{q}^{*}$ 的所有子群都是迴圈群。

此外，在證明定理時，他還展示了費馬小定理的推廣，該定理指出

x^{q-1}\equiv 1{\text{ }}({\text{mod }}p)

請注意，費馬原來的定理證明了 $f=1$ 的情況。

本節中使用最有用的技術是尤拉 $\phi$ -函式的應用。

有限域上的方程

本節研究以下形式的集合

\{p\in \mathbb {F} _{q}^{n}:f_{1}(p)=\cdots =f_{k}(p)=0\}

其中 $f_{i}\in \mathbb {F} _{q}[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ 。如果您熟悉方案論，Serre 研究了以下形式的方案

X={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {Z} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}\right)

透過觀察以下集合

X(\mathbb {F} _{q})

冪和

本節介紹一個證明 Chevalley-Warning 定理的技術工具。它依賴於以下

$0+1+2+\cdots +p=(0+p)+(1+(p-1))+(2+(p-2))+\cdots =k\cdot p$

Chevalley 定理

Chevallay-Warning 定理給出了一個有用的準則來確定有限域上多項式集合的解的數量。為了方便起見，我將在這裡重新陳述它

給定多項式

f_{\alpha }\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]

使得

\sum {\text{deg}}(f_{\alpha })<n

。

V=\{p\in K^{n}:f_{\alpha }(p)=0\}

的基數與

0({\text{mod }}p)

同餘。

證明這個定理最有趣的技術工具是指示函式 $P(x)=\prod _{\alpha }(1-f_{\alpha }^{q-1}):K^{n}\to \mathbb {Z} /2$ ，它可以等效地描述為函式

P(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x\in V\\0&{\text{ otherwise}}\end{cases}}

注意 $q-1$ 次方是上一節證明的費馬小定理推廣的應用。

該定理有許多應用。首先，它解決了關於有限域上多項式解的存在性的許多算術問題。這在推論 1 中有說明。此外，他還表明，對於二次形式 $Q=\sum a_{ij}x_{i}x_{j}$ （意思是 $a_{ij}$ 給出了一個對稱矩陣）在每個有限域上都有一個非零解。

二次互反律

本節介紹了勒讓德符號的構造和高斯互反定理。

平方在 $\mathbb {F} _{q}$ 中

該定理是勒讓德符號定義的基礎，勒讓德符號定義為短精確序列中的第二個對映

1\to \mathbb {F} _{q}^{*2}\to \mathbb {F} _{q}^{*}\to \{\pm 1\}\to 1

此態射是透過使用費馬小定理的推廣來定義的。由於 $x^{q-1}\equiv 1{\text{ }}({\text{mod }}q)$ ，我們有 $x^{(q-1)/2}\equiv \pm 1{\text{ }}({\text{mod }}q)$ 。對於此序列的應用，請回憶 $\mathbb {F} _{9}\cong \mathbb {F} _{3}[i]\cong \mathbb {F} _{3}[x]/(x^{2}+1)$ 。我們可以計算出

(\mathbb {F} _{9}^{*})^{2}=\{1,2,i,2i\}

因此

\mathbb {F} _{3^{3}}=\mathbb {F} _{27}\cong \mathbb {F} _{9}[y]/(y^{2}+2i+2)\cong F_{3}[x,y]/(x^{2}+1,y^{2}+x+1)

勒讓德符號（基本情況）

這裡，Serre 將序列限制為經典情況

1\to \mathbb {F} _{p}^{*2}\to \mathbb {F} _{p}^{*}\to \{\pm 1\}\to 1

並定義第二個對映為勒讓德符號

\left({\frac {\cdot }{p}}\right):\mathbb {F} _{p}^{*}\to \mathbb {Z} /2

如果您嵌入 $\mathbb {Z} /2\to U(1)$ ，則勒讓德符號就是一個特徵的例子（一個群態射 $\chi :G\to U(1)$ ）。這意味著

\left({\frac {ab}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)\cdot \left({\frac {b}{p}}\right)

此外，勒讓德符號可以擴充套件到

\mathbb {F} _{p}

透過設定

{\frac {0}{p}}=0

請注意，我們可以透過將商對映與勒讓德符號組合，將勒讓德符號提升到 $\mathbb {Z}$ 。 $\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p$

最後，他發現了一種計算 $[1],[-1],[2]$ 的勒讓德符號的方法。第一個情況很簡單，因為 $[-1]^{2}=[1]=[1]^{2}$ 。對於最後兩個情況，他引入了幾個輔助函式 $\varepsilon ,\omega$ 從奇數到 $\mathbb {Z} /2$

\varepsilon (n)\equiv {\frac {n-1}{2}}{\text{ }}({\text{mod }}4)={\begin{cases}0&{\text{ if }}n\equiv 1{\text{ }}({\text{mod }}4)\\1&{\text{ if }}n\equiv -1{\text{ }}({\text{mod }}4)\end{cases}}

\omega (n)\equiv {\frac {n^{2}-1}{8}}{\text{ }}({\text{mod }}8)={\begin{cases}0&{\text{ if }}n\equiv \pm 1{\text{ }}({\text{mod }}8)\\1&{\text{ if }}n\equiv \pm 5{\text{ }}({\text{mod }}8)\end{cases}}

回想一下初等數論，所有大於 $2$ 的奇數都是 $4k+1$ 或 $4k+3$ 的形式（它們不可能是 $4k$ 或 $4k+2$ 的形式，因為這些是偶數）。然後， $\varepsilon$ 充當一個函式，將兩組奇數劃分開來。此外，這兩種形式的素數都有無窮多個。塞爾聲稱：

\left({\frac {-1}{p}}\right)=\left({\frac {p-1}{p}}\right)=(-1)^{\varepsilon (p)}

如果我們將 $p$ 分成奇數的兩種情況，那麼

p-1={\begin{cases}(4k+1)-1=4k\\(4k+3)-1=4k+2\end{cases}}

然後，利用勒讓德符號的定義，我們發現

\left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}={\begin{cases}(-1)^{\frac {4k}{2}}=(-1)^{2k}=1&{\text{if }}p\equiv 1{\text{ }}({\text{mod }}4)\\(-1)^{\frac {4k+2}{2}}=(-1)^{2k+1}=-1&{\text{if }}p\equiv 3{\text{ }}({\text{mod }}4)\end{cases}}

如預期的那樣。在最後一種情況下，Serre再次使用了一個函式，該函式將奇數分開。注意，每個奇數（因此每個大於 $2$ 的素數）都屬於以下形式之一

8k+1,8k+3,8k+5,8k+7

為了利用這個劃分，他嵌入 $\mathbb {F} _{p}\to {\overline {\mathbb {F} }}_{p}$ 並斷言 $(\zeta _{8}+\zeta _{8}^{-1})^{2}=2$ 其中 $\zeta _{8}$ 是 $8$ 次單位根（在複數中 $\zeta _{8}=e^{\frac {2\pi i}{8}})$ 。這來自觀察結果

\zeta _{8}^{4}=-1

因此

\zeta _{8}^{-4}=-1

，因為

\zeta _{8}^{4}\cdot \zeta _{8}^{-4}=\zeta _{8}^{0}=1

並且

\zeta _{8}^{4}\cdot \zeta _{8}^{-4}=(-1)\cdot \zeta _{8}^{4}

意味著

(\zeta _{8}^{2}+\zeta _{8}^{-2})^{2}=\zeta _{8}^{4}+2+\zeta _{8}^{-4}=0

強制

\zeta _{8}^{2}+\zeta _{8}^{-2}=0

因此 $y=\zeta _{8}+\zeta _{8}^{-1}$ 滿足 $y^{2}=2$ ，因為

y^{2}=(\zeta _{8}+\zeta _{8}^{-1})^{2}=\zeta _{8}^{2}+2+\zeta _{8}^{-2}=2

由於 Frobenius $\sigma :{\overline {\mathbb {F} }}_{p}\to {\overline {\mathbb {F} }}_{p}$ 是 ${\overline {\mathbb {F} }}_{p}$ 的自同構，我們有

y^{p}=\zeta _{8}^{p}+\zeta _{8}^{-p}

如果 $p\equiv \pm 1{\text{ }}({\text{mod }}8)$ ，那麼 $y^{p}=\zeta _{8}^{p}+\zeta _{8}^{-p}=\zeta _{8}+\zeta _{8}^{-1}=y$ 。這意味著

\left({\frac {2}{p}}\right)=y^{p-1}=1

否則，如果 $p\equiv \pm 5{\text{ }}({\text{mod }}8)$ ，那麼 $y^{p}=\zeta _{8}^{5}+\zeta _{8}^{-5}=-(\zeta _{8}+\zeta _{8}^{-1})=-y$ （在單位圓上畫一個圖來驗證 $-\zeta _{8}=\zeta _{8}^{5}$ 和 $-\zeta _{8}^{-1}=\zeta _{8}^{-5}$ ）。因此 $y^{p-1}=-1$ .