Serre 算術/希爾伯特符號使用者指南

區域性性質

對於固定的（區域性）域 $k=\mathbb {Q} _{p},\mathbb {R}$ ，兩個 $a,b\in k^{*}$ 的 **希爾伯特符號** 定義為

(a,b)_{p}={\begin{cases}1&{\text{if }}ax^{2}+by^{2}=z^{2}{\text{ for some }}(x,y,z)\in k^{3}-\{(0,0,0)\}\\-1&{\text{otherwise}}\end{cases}}

如果我們用 $ac^{2},bd^{2}$ 代替 $a,b$ ，則

z^{2}=ac^{2}x^{2}+bd^{2}y^{2}=a(cx)^{2}+b(dy)^{2}

表明如果我們將 $a,b$ 乘以平方，則它們的希爾伯特符號不會改變。因此希爾伯特符號分解為

(\cdot ,\cdot )_{p}:{\frac {k^{*}}{(k^{*})^{2}}}\times {\frac {k^{*}}{(k^{*})^{2}}}\to \mathbb {F} _{2}

Serre 在下一節中繼續證明這實際上是 $\mathbb {F} _{2}$ 上的雙線性形式。

在定義之後，他給出了一個在命題中計算希爾伯特符號的方法：它指出存在一個短正合序列

1\to Nk_{b}^{*}\to k^{*}{\xrightarrow {(\cdot ,a)_{p}}}\{\pm 1\}\to 1

其中 $k_{b}=k({\sqrt {(}}b))$ 並且

N:k_{b}^{*}\to k^{*}

將

x+y{\sqrt {b}}\mapsto (x+y{\sqrt {b}})(x-y{\sqrt {b}})=x^{2}-by^{2}

傳送

然後他繼續證明/陳述一些用於計算的有用恆等式