抽象代數/域

域和同態

定義

定義（域）

一個域 $F$ 是一個交換的么元環，使得每個非零的 $x\in F$ 都有一個乘法逆元。換句話說，對於每個 $x\in F\setminus \{0\}$ 都存在某個 $y\in F\setminus \{0\}$ 使得 $x\cdot y=1$ .

本質上，域是一個交換的除環。

示例

$\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ （有理數、實數和複數）以及標準的 $+$ 和 $\cdot$ 運算具有域結構。這些是具有無限基數的示例。
$\mathbb {Z} _{p}$ ，模 $p$ 的整數，其中 $p$ 是一個素數，並且 $+$ 和 $\cdot$ 是模 $p,$ 是有限域的家族。
如果 $F$ 是一個域，那麼 $F(x)$ ，係數在 $F$ 中的有理函式（即多項式的商）的集合，也構成一個域。
一個反例是 $\mathbb {Z} _{n}$ ，其中 $n$ 不是素數。例如， $\mathbb {Z} _{4}$ 中的 2 沒有乘法逆元，因此 $\mathbb {Z} _{4}$ 不是一個域。

同態

定義（域同態）

如果 $E,F$ 是域，那麼 $f:E\to F$ 是一個 **域同態**，如果

$f(a+b)=f(a)+f(b)$
$f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)$
$f(1_{E})=1_{F}$

因此，域同態就是酉環同態。

引理 4.1.1

每個域同態都是單射的。

證明。 這是域的理想結構的一個簡單推論。假設 $f:E\to F$ 是一個域同態。特別地，它是一個環同態，因此我們知道 ${\rm {ker}}(f)$ 是 $E$ 的一個理想。由於 $E$ 是一個域，它只有平凡理想，所以 ${\rm {ker}}(f)=\{0\}$ 或 ${\rm {ker}}(f)=E$ 。我們可以排除第二種情況，因為 $f(1_{E})=1_{F}$ ，所以該對映不能是平凡的。因此我們處於第一種情況，這意味著正是 $f$ 是單射的。 $\blacksquare$

上述引理意味著每個域同態也可以被視為域的嵌入。

就像數學中經常發生的那樣，物件之間的對映會誘匯出相關物件之間的其他對映。例如，拓撲空間之間的連續對映會誘匯出空間上閉合曲線的集合之間的對映，而向量空間之間的線性對映會誘匯出對偶空間之間的線性對映（儘管方向相反）。在這種情況下，域之間的同態會誘匯出相應的多項式環之間的同態。準確地說，假設 $\varphi :E\to F$ 是一個域同態。這會誘匯出一個對映 $\varphi _{*}:E[x]\to F[x]$ ，由下式給出： $\varphi _{*}(a_{0}+a_{1}x+\dots a_{n}x^{n})=\varphi (a_{0})+\varphi (a_{1})x+\dots \varphi (a_{n})x^{n}$

很容易看出 $\varphi _{*}$ 是一個（單位）環同態。此外，如果 $\varphi$ 是一個同構，那麼 $\varphi _{*}$ 也是。

域的特徵

域的一個重要性質是其特徵。首先我們需要考慮從 $\mathbb {Z}$ 到域 $F$ 的典範同態 $\varphi$ 。當然，這是透過將單位對映到單位來定義的。由於 $\mathbb {Z}$ 由 $1$ 生成，這足以定義整個同態。根據同態基本定理，我們知道 $\mathbb {Z} /{\textrm {ker}}(\varphi )\cong \varphi (\mathbb {Z} )\subseteq F$ 。特別是，這意味著 $\varphi (\mathbb {Z} )$ 是 $F$ 的一個子環，甚至是一個子域，因此是一個整環。因此 ${\textrm {ker}}(\varphi )$ 是 $\mathbb {Z}$ 的一個素理想。存在一個唯一的非負整數生成此理想。我們稱這個整數為 $F$ 的特徵。根據上述論證，如果特徵不為零，則特徵必須是素數。

直觀地說，域 $F$ 的特徵是最小的正整數 $p$ （如果存在），使得 $\underbrace {1+\dots +1} _{p{\text{ times}}}=0$ 如果不存在這樣的正整數，那麼 $F$ 的特徵為 0。例如， $\mathbb {Z} _{p}$ 的特徵都是 $p$ ，而 $\mathbb {Q} ,\mathbb {R}$ 和 $\mathbb {C}$ 的特徵為 0。

有時，我們將上述典範同態下 $\mathbb {Z}$ 的像稱為 $F$ 的 *素域*。因此，有限域的素域是（同構於） $\mathbb {Z} _{p}$ （其中 $p$ 是 $F$ 的特徵），特徵為 0 的域的素域是（同構於） $\mathbb {Q}$ 。

域擴張

定義（域擴張）

設 $F$ 和 $G$ 是域。如果 $F\subseteq G$ 且存在從 $F$ 到 $G$ 的嵌入，則 $G$ 是 $F$ 的 **域擴張**。

令 $G$ 是 $F$ 的一個擴張。由於我們可以透過 $G$ 上的乘法，用 $F$ 的元素對 $G$ 的元素進行縮放， $G$ 構成一個關於 $F$ 的向量空間（可以驗證向量空間的所有公理都成立）。這個向量空間的維數是擴張的次數， $[G:F]$ 。如果次數是有限的，那麼 $G$ 是 $F$ 的有限擴張，而 $G$ 關於 F 的次數為 $n=[G:F]$ 。

示例

複數 $\mathbb {C}$ 是實數 $\mathbb {R}$ 的一個域擴張。這個擴張的次數是 2。
類似地，可以將虛數 $i$ 新增到有理數域 $\mathbb {Q}$ 中，形成 $\mathbb {Q} (i)$ 高斯有理數域。這也是一個次數為 2 的擴張。
實數 $\mathbb {R}$ 構成一個關於 $\mathbb {Q}$ 的域擴張，但這不是一個有限擴張，因為實數關於 $\mathbb {Q}$ 不構成一個有限維（甚至是一個可數無限維）向量空間。

代數擴張

定義（代數擴張）

令 $K$ 是 $F$ 的一個擴張。那麼 $\lambda \in K$ 關於 $F$ 是代數的，如果存在一個非零多項式 $f(x)\in F[x]$ 使得 $f(\lambda )=0$ 。 $K$ 是 $F$ 的一個代數擴張，如果 $K$ 是 $F$ 的一個擴張，使得 $K$ 中的每一個元素都關於 $F$ 是代數的。

例如， $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ 是 $\mathbb {Q}$ 上的代數擴張（如果 $a+b{\sqrt {2}}$ 是 $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ 中的任意元素，那麼它是 $f(x)=(x-a)^{2}-2b^{2}$ 的根），但 $\mathbb {R}$ 不是 $\mathbb {Q}$ 上的代數擴張，因為例如 $\pi$ 不是任何有理多項式的根（這是一個非常難證明的命題）。

定義（最小多項式）

如果 $x$ 是 $F$ 上的代數數，那麼在 $F[x]$ 中以 $x$ 為根的多項式集合是 $F[x]$ 的一個理想。這是一個主理想整環，因此該理想由一個唯一的首一非零多項式 $m(x)$ 生成。我們定義 $m(x)$ 為最小多項式。

例如， $i$ 的極小多項式是 $x^{2}+1$ ，而 ${\sqrt[{3}]{2}}$ 的極小多項式是 $x^{3}-2$ ，兩者都是關於 $\mathbb {Q}$ 的。需要注意的是，極小多項式在很大程度上依賴於它所處的域。 ${\sqrt[{3}]{2}}$ 關於 $\mathbb {R}$ 的極小多項式就簡單是 $x-{\sqrt[{3}]{2}}$ .

分裂域

我們在這項研究中的主要目標是找到給定多項式的根。伽羅瓦和伽羅瓦理論的傑出見解是透過考察域擴張來（試圖）回答這個問題。下面的兩個引理可能有助於激發這種推理。

引理 4.1.2

假設 $F$ 是一個域， $f(x)\in F[x]$ 是一個多項式。那麼存在一個（有限的）域擴張 $E$ of $F$ ，使得 $E$ 包含 $f(x)$ 的一個根。

Proof. Suppose first that $f(x)$ is irreducible. Then we can take $E=F[x]/(f(x))$ . We know that $E$ is indeed a field because $f(x)$ is irreducible. Moreover it contains an isomorphic copy of $F$ as the (equivalence classes of) the constant polynomials. Finally $[x]$ , the equivalence class of the linear polynomial $x$ , is a root of $f(x)$ since $f([x])=[f(x)]=0\in F[x]/(f(x))$ Finally the degree of $E$ over $F$ is exactly the degree of the polynomial $f(x)$ (which hopefully motivates the terminology). This is due to the division algorithm. Suppose $g(x)$ is any polynomial in $F[x]$ . Then we know by the division algorithm that there exist unique polynomials $q(x)$ and $r(x)$ such that $g(x)=q(x)f(x)+r(x)$ where $\deg(r(x))<\deg(f(x))$ . In particular, this means every equivalence class $[g(x)]$ contains a unique representative whose degree is less than $\deg(f(x))$ . Therefore $E$ is spanned by $\{1,[x],[x^{2}],\dots ,[x^{n-1}]\}$ where $n=\deg(f(x))$ . If $f(x)$ is not irreducible then it can be written as a product of irreducibles and applying the above process to any of these produces an extension which contains a root of at least one of these irreducible polynomials and hence contains a root of $f(x)$ . $\blacksquare$

我們知道 $x^{2}+1$ 關於 $\mathbb {R}$ 是不可約的，因此 $\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$ 是一個域，並且可以驗證該域與 $\mathbb {C}$ 同構。事實上，有時將複數定義為這個商 $\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$ 。

引理 4.1.3

假設 $E$ 是 $F$ 的一個擴張。令 $f(x)$ 是 $F[x]$ 中的一個不可約多項式，使得 $E$ 包含 $\alpha$ ，它是 $f(x)$ 的根。令 $F(\alpha )$ 是包含 $F$ 和 $\alpha$ 的 $E$ 的最小子域。那麼 $F(\alpha )\cong F[x]/(f(x))$ .

證明。 包含 $F$ 和 $\alpha$ 的最小子域是指 $E$ 中包含它們的所有子域的交集。這些域的集合非空，因為它包含 $E$ 例如，並且很容易看到子域的交集仍然是一個子域。

如果 $f(x)$ 的度數為 1，那麼我們已經完成了，因為這意味著 $\alpha \in F$ 所以 $F(\alpha )=F$ ，並且根據引理 4.1.1 末尾的論證，我們有 $F[x]/(f(x))\cong F$ 。那麼我們可以假設 $\deg(f(x))\geq 2$ .

為了證明同構性，我們定義一個環同態 ${\begin{aligned}\varphi :F[x]&\to F(\alpha )\\g(x)&\mapsto g(\alpha )\end{aligned}}$ 換句話說， $\varphi$ 對多項式的作用是簡單地將它們在 $\alpha$ 處求值。根據定義，我們知道 $f(x)\in {\textrm {ker}}(\varphi )$ ，因為 $f(\alpha )=0$ 。由於假設 $f(x)$ 是不可約的，所以它也必須生成核（否則它將是核的生成元的非平凡倍數）。那麼根據第一同構定理，我們知道 $F[x]/(f(x))$ 同構於 $F(\alpha )$ 的一個子域。注意 $F[x]/(f(x))$ 包含 $F$ 作為常數多項式的像，並且它包含 $\alpha$ 作為 $x$ 的像。根據假設， $F(\alpha )$ 是包含這兩者的最小子域，所以我們必須有 $F[x]/(f(x))\cong F(\alpha )$ 。 $\blacksquare$

上面的第一個引理告訴我們，我們總能找到一個包含不可約多項式根的域擴張，方法是模掉這個多項式。第二個引理告訴我們，任何包含解的域擴張都是這種形式的（直到同構）。因此，我們將花費大量時間研究域上的多項式環並研究它的商空間。

人們通常將 $F(\alpha )$ 視為 '附加' 到域 $F$ 上的根 $\alpha$ 。粗略地說，我們將 $\alpha$ 新增到域中，然後透過新增所有可能的和、積、逆等，以及 $\alpha$ 滿足給定多項式的進一步條件，使之在域運算下封閉。事實上，這正是前一個引理中的構造所做的。

引理 4.1.3 的一個重要結果是不可約多項式的根在代數上是不可區分的（這將在定理 4.1.4 中得到精確說明，特別是由其推論 4.1.5 所證明）。例如，我們知道 ${\sqrt {2}}$ 和 $-{\sqrt {2}}$ 都是 $x^{2}-2$ 的解。這兩個根之間沒有代數上的區別；為了區分它們，我們需要諸如 $-{\sqrt {2}}<0$ 以及 ${\sqrt {2}}>0$ 這樣的拓撲資訊。類似地， $i$ 和 $-i$ 都是 $x^{2}+1$ 的解。交換這些根正是導致複共軛的原因。(不可約) 多項式的根彼此等價這一事實是伽羅瓦理論的關鍵思想之一。

定理 4.1.4

令 $F,{\widetilde {F}}$ 為域， $f(x)\in F[x]$ 為不可約多項式。令 $\varphi :F\to {\widetilde {F}}$ 為域同構。令 ${\widetilde {f}}(x)$ 為多項式 $\varphi _{*}(f(x))$ 。令 $\alpha$ 為 $f(x)$ 的根（在 $F$ 的某個擴張中），令 $\beta$ 為 ${\widetilde {f}}(x)$ 的根（在 ${\widetilde {F}}$ 的某個擴張中）。則存在同構 $\sigma :F(\alpha )\to {\widetilde {F}}(\beta )$ ，它在 $F$ 上與 $\varphi$ 一致。

證明。 由於 $\varphi$ 是一個同構，且 $f(x)$ 是不可約的，我們必須有 ${\widetilde {f}}(x)$ 也是不可約的（因為如果我們有 ${\widetilde {f}}(x)=g_{1}(x)g_{2}(x)$ ，那麼 $f(x)=(\varphi ^{-1})_{*}(g_{1}(x))\cdot (\varphi ^{-1})_{*}(g_{2}(x))$ ，這將與 $f(x)$ 的不可約性相矛盾）。然後 $f(x)$ 和 ${\widetilde {f}}(x)$ 在各自的環中生成極大理想，環同構 $\varphi _{*}$ 擴充套件到商的同構（域同構） $F[x]/(f(x))\to {\widetilde {F}}[x]/({\widetilde {f}}(x))$ 我們根據前一個定理知道，定義域同構於 $F(\alpha )$ ，陪域同構於 ${\widetilde {F}}(\beta )$ ，並且該對映與 $\varphi$ 在 $F$ 上一致，這是由構造決定的。 $\blacksquare$

推論 4.1.5

設 $F,{\widetilde {F}}$ 是域，且 $f(x)\in F[x]$ 是一個不可約多項式。假設 $\alpha ,\beta$ 是 $f(x)$ 在 $F$ 的某些（可能不同的）擴張域中的根。那麼 $F(\alpha )\cong F(\beta )$ 。

證明： 將上一定理應用於 $F={\widetilde {F}}$ 且 $\varphi$ 為恆等對映的情況。

定義（分裂域）

令 $F$ 為一個域， $f(x)\in F[x]$ 且 $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ 是 $f(x)$ 的根。那麼，包含 $a_{1},...,a_{n}$ 的 $F$ 的最小域擴張 $E$ 被稱為 $f(x)$ 關於 $F$ 的分裂域。換句話說， $E$ 的任何真子域都不包含 $F$ 和所有的 $a_{1},\dots ,a_{n}$ 。

分裂域的存在性和唯一性

我們將看到，與其考慮任意域擴張，分裂域將是需要考慮的東西。首先我們需要知道它們總是存在的。

定理 4.1.6

令 $F$ 為一個域， $f(x)\in F[x]$ 為一個多項式。那麼，存在 $F$ 的一個域擴張 $E$ ，它是 $f(x)$ 的分裂域。

Proof. This is a largely uninteresting case of proof by induction. We will induct on the degree of $f(x)$ . If $f(x)$ is linear, then clearly its roots (in fact just the one root) is contained in $F$ so $F$ itself is a splitting field. Suppose $\deg(f(x))>1$ . If $f(x)$ splits into the product of linear terms, then again all the roots are contained in $F$ , so we already have a splitting field. So suppose $f(x)$ has an irreducible factor of degree at least 2. Then there exists a field extension $E_{1}$ containing a root $\alpha$ of $f(x)$ . Then in $E_{1}$ , we can factorise the polynomial into $f(x)=(x-\alpha )f_{1}(x)$ where $f_{1}(x)$ is a polynomial of degree $\deg(f(x))-1$ . Then by induction there exists $E_{2}$ a field extension of $E_{1}$ that is a splitting field of $f_{1}(x)$ . Therefore $E_{2}$ is a field extension of $F$ that contains all the roots of $f(x)$ . Taking the intersection of all subfields of $E_{2}$ containing $F$ and the roots of $f(x)$ gives us $E$ , a splitting field of $f(x)$ . $\blacksquare$

上面我們謹慎地使用了一個分裂域來描述 $f(x)$ 。事實上，這是一個不必要的謹慎，因為一個多項式的分裂域在同構意義下是唯一的。這來自於定理 4.1.4 的一個推廣，我們聲稱定理的陳述即使我們在附加多項式的所有根時，而不是隻附加一個根，仍然成立。

定理 4.1.7

設 $F,{\widetilde {F}}$ 是域，且 $f(x)\in F[x]$ 是一個多項式。設 $\varphi :F\to {\widetilde {F}}$ 是域同構。設 ${\widetilde {f}}(x)$ 是多項式 $\varphi _{*}(f(x))$ 。設 $E$ 是 $f(x)$ 的分裂域， ${\widetilde {E}}$ 是 ${\widetilde {f}}(x)$ 的分裂域。那麼存在一個同構 $\sigma :E\to {\widetilde {E}}$ ，它在 $F$ 上與 $\varphi$ 一致。

Proof. This is once again a proof by induction on the degree of $f(x)$ . If $f(x)$ is of degree 1 or indeed splits into factors of degree 1 then the splitting field of $f(x)$ is $F$ so we can take $\sigma =\varphi$ . Thus suppose $f(x)$ has an irreducible factor $p(x)$ of degree at least 2 so ${\widetilde {p}}(x)=\varphi _{*}(p(x))$ is an irreducible factor of ${\widetilde {f}}(x)$ . Then by the previous theorem we know $\varphi$ extends to an isomorphism $\psi :F(\alpha )\to {\widetilde {F}}(\beta )$ where $\alpha$ is a root of $p(x)$ and $\beta$ is a root of ${\widetilde {p}}(x)$ . Therefore over $F(\alpha )$ and ${\widetilde {F}}(\beta )$ respectively we can write $f(x)=(x-\alpha )f_{1}(x)$ and ${\widetilde {f}}(x)=(x-\beta ){\widetilde {f}}_{1}(x)$ . Notice that $E$ is a splitting field of $f_{1}(x)$ over $F(\alpha )$ . Indeed if a splitting field was strictly contained within $E$ , then it would contain all the roots of $f_{1}(x)$ and $\alpha$ and hence would contain all the roots of $f(x)$ . But this would contradict $E$ being a splitting field of $f(x)$ . Of course the same holds true for ${\widetilde {f}}_{1}(x)$ over ${\widetilde {F}}(\beta )$ . Since $f_{1}(x)$ and ${\widetilde {f}}_{1}(x)$ have degree strictly less than $\deg(f(x))$ , by induction we can assume that the statement of theorem holds for them. In particular, $\psi$ extends to an isomorphism $\sigma :E\to {\widetilde {E}}$ . But since $\psi$ was an extension of $\varphi$ , $\sigma$ must also be an extension of $\varphi$ concluding the proof. $\blacksquare$

推論 4.1.8

設 $F$ 是域，且 $f(x)\in F[x]$ 是一個多項式。如果 $E,{\widetilde {E}}$ 是 $f(x)$ 的分裂域，那麼它們同構。

證明。將定理 4.1.7 應用於 $F={\widetilde {F}}$ 和 $\varphi$ 為恆等對映的情況。 $\blacksquare$

有限域的分類

定理 4.1.9

如果 $F$ 是一個有限域，那麼對於某個素數 $p$ 和自然數 $n$ ，有 $\mid F\mid =p^{n}$ 。

證明。由於 $F$ 是一個有限域，我們知道它的素域是 $\mathbb {Z} _{p}$ ，其中 $p$ 是某個素數。素域是 $F$ 的子域，因此 $F$ 在 $\mathbb {Z} _{p}$ 上形成一個向量空間。由於 $F$ 是有限的，它必須是有限維向量空間，特別是我們必須有 $F\cong (\mathbb {Z} _{p})^{n}$ ，對於某個 $n$ （作為向量空間），因此 $\mid F\mid =p^{n}$ 。 $\blacksquare$