高等微積分/牛頓廣義二項式定理

牛頓廣義二項式定理

我們現在將描述一個廣義二項式定理，它使用廣義二項式係數。

定義:

令 $k\in \mathbb {N}$ 且 $r\in \mathbb {R}$。然後我們定義

${\binom {r}{k}}:={\frac {r(r-1)\cdots (r-(k-1))}{k!}}$.

對於這些廣義二項式係數，我們有以下公式，我們需要它來證明後面的廣義二項式定理。

引理:

$(r-k){\binom {r}{k}}+(r-(k-1)){\binom {r}{k-1}}=r{\binom {r}{k}}$.

證明:

${\begin{aligned}(r-k){\binom {r}{k}}+(r-(k-1)){\binom {r}{k-1}}&=(r-k){\frac {\prod \limits _{j=0}^{k-1}(r-j)}{k!}}+{\frac {\prod \limits _{j=0}^{k-1}(r-j)}{(k-1)!}}\\&={\frac {(r-k+k)\prod \limits _{j=0}^{k-1}(r-j)}{k!}}\\&=r{\binom {r}{k}}\end{aligned}}$$\Box$

現在我們準備好了定理

定理（廣義二項式定理；牛頓）：如果 $r\in \mathbb {R}$ 且 $|x|<|y|$，那麼

$(x+y)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {r}{k}}x^{k}y^{r-k}$,

其中後面的級數確實收斂。

證明:

我們從特殊情況$y=1$開始。首先我們證明只要$|x|<1$，後面的級數收斂；我們透過使用冪級數收斂半徑的商公式來證明這一點。由於絕對值的連續性允許我們首先在絕對值內計算極限，我們有

$\lim _{k\to \infty }{\frac {|a_{k}|}{|a_{k+1}|}}=\lim _{k\to \infty }\left|{\frac {k+1}{r-k}}\right|=|-1|=1$;

因此我們確實有一個$1$的收斂半徑。

這種收斂允許我們在$|x|<1$的收斂區域內應用逐項微分，這將得到

${\frac {d}{dx}}\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {r}{k}}x^{k}=\sum _{k=1}^{\infty }(r-(k-1)){\binom {r}{k-1}}x^{k-1}$.

如果我們用$g(x)$來表示從我們正在考慮的級數定義的函式，那麼我們得到

${\begin{aligned}(1+x){\frac {d}{dx}}g(x)&=\sum _{k=1}^{\infty }(r-(k-1)){\binom {r}{k-1}}x^{k-1}+\sum _{k=1}^{\infty }(r-(k-1)){\binom {r}{k-1}}x^{k}\\&=r+\sum _{k=1}^{\infty }\left((r-k){\binom {r}{k}}+(r-(k-1)){\binom {r}{k-1}}\right)x^{k}\\&=r+r\sum _{k=1}^{\infty }{\binom {r}{k}}x^{k}\\&=rg(x),\end{aligned}}$

其中，我們使用了前面的引理，將第 2 行轉置到第 3 行。現在定義 $f(x)=(1+x)^{r}$，我們透過通常的微分規則得到

${\frac {d}{dx}}\left({\frac {g(x)}{f(x)}}\right)={\frac {g'(x)f(x)-f'(x)g(x)}{f(x)^{2}}}={\frac {r{\frac {g(x)}{x+1}}(1+x)^{r}-rg(x)(1+x)^{r-1}}{f(x)^{2}}}=0$

$|x|<1$ 意味著 $f(x)\neq 0$，這就是為什麼上面的每一個分數都是定義的。因此，我們證明了 $g/f$ 是一個常數，特殊情況 $y=1$ 來自 $g(0)=1=f(0)$（因為空積定義為等於 $1$）。

對於一般情況 $x,y\in \mathbb {R}$，其中 $|x|<|y|$，我們有

${\begin{aligned}{\frac {(x+y)^{r}}{y^{r}}}&=(x/y+1)^{r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {r}{k}}(x/y)^{k};\end{aligned}}$

假設條件保證了收斂，因為 $|x/y|<1$。為了得到結論，只需要用 $y^{r}$ 乘以。 $\Box$