高階幾何/解答

第 1 章

問題 1

設給定的三條直線為$a,b,c$。作直線$[A,a]$。在直線$[A,a]$上取任意一點$B$，作直線$[B,b]$。作直線$[A,c]$，並設$C=\langle [A,c],[B,b]\rangle$（任意一點均可）。連線$A,B,{\text{and}}C$。應該會形成一個三角形。

問題 2

作兩個同心圓。在一個圓上標記一個任意點，並將其連線到圓心。接著，在這個半徑上複製一個角。透過非末端點連線圓心與另一個圓。最後，連線線段的兩個端點。應該會形成一個三角形。

問題 3

在給定點$A$上，用給定的半徑作一個圓。在圓上作一個任意點。將兩個角複製到這些點上。將三角形的頂點與角的非末端點連線起來。求兩條射線的交點。應該會形成一個新的三角形。

問題 4

用兩個正方形的邊作為直角邊作一個直角三角形。用新的斜邊作一個正方形。根據勾股定理，這個正方形等於兩條直角邊的平方和。

問題 5

在給定點($A$)上，用給定的半徑($a$)作一個圓。過給定點作一條直線($b$)，該直線垂直於給定直線。設$B=\langle b,[A,a]\rangle$。在這個點上，用相同的半徑作一個圓，從而滿足問題要求。

問題 6

假設給定的斜邊為$a$。在任意點$A$上，構建$[A,a]$。在圓上構建點$B$，並在${\overline {AB}}$上覆制角度。在非終端點上，畫一條連線到角度頂點的線。之後，構建一條垂直於前一條線的，並且穿過圓心的垂直線。

問題 7

構建點$A$。建立一條線段${\overline {AB}}$，該線段的長度等於較大正方形的邊長（用$a$表示）。以較小正方形的邊長為半徑，以$A$為圓心，構建一個圓。二等分${\overline {AB}}$，並以二等分點$C$為圓心，以A為端點，構建一個圓。令$D=\langle [C,CA],[A,a]\rangle$。該點將是線段的

問題 8

我們將線段稱為 $a,b,{\text{and}}c$. 建立一個任意點 $A$ 並建立兩個同心圓，一個半徑為 $a$，另一個半徑為 $c$. 在小半徑圓上構造任意一點，並將其稱為 $B$. 構造 $[B,b]$. 使[B, b]與[A, c]相交，並標記其中一點-- 稱為 $C$. 透過 $C$ 構造一條平行於 ${\overleftrightarrow {AB}}$ 的直線，稱為 $d$. 透過 $A$ 構造一條平行於 ${\overleftrightarrow {BC}}$ 的直線，稱為 $e$. 將 $d{\text{and}}e$ 的交點稱為 D. 應該構造平行四邊形 ABCD。

問題 9

假設我們有一個直角三角形，它的兩條直角邊分別為 $c$ 和 $d$，斜邊為 $e$。假設垂直於斜邊的垂線將三角形分割成 $a$ 和 $b$ 的比例。那麼，可以得出 $c^{2}=ae$ 和 $d^{2}=be$。因此，平方比 $c^{2}:d^{2}$ 等於 $ae:be$。簡化後，得到 $c^{2}:d^{2}=a:b$，從而證明完畢。

問題 10

用兩個給定線段作為直角邊構造一個直角三角形。不幸的是，你需要的是線段平方後的比例，而你只得到了普通的線段。構造好直角三角形後，畫一條垂直於斜邊的垂線。斜邊會被分割成兩條直角邊的平方之比，也就是你所需要的比例。現在你已經得到了線段平方後的比例，你需要將第一個給定的線段按這個比例分割。

為此，取第一個線段的兩個端點，並將它們分別連線到我們剛構造的線段的兩個端點。這兩條線應該會相交。還記得垂線將斜邊分割的點嗎？將這個點連線到我們剛構造的交點，並畫一條直線。這條直線將與第一個給定的線段相交，從而解決問題。

問題 11

現在，你得到了一個按比例分割的線段。在分割點處，畫一條垂直線。然後，取給定線段的中點，以其中一個端點到中點的距離為半徑畫圓。讓圓與垂直線相交，並構造一個直角三角形。連線垂直線與圓的交點與給定線段的兩個端點，就會形成一個直角三角形。

問題 12

構造： 設較大的圓的圓心為$A$，半徑為$r_{a}$；設較小的圓的圓心為$B$，半徑為$r_{b}$。在較大的圓上任取一點$C$。構造$[C,r_{b}]$ 和直線 ${\overline {AC}}$。設 $D=\langle [C,r_{b}],{\overline {AC}}\rangle$ 向北。方向很重要；使用錯誤的方向會解決問題13。構造$[A,AD]$。現在，構造兩條與圓 $[A,AD]$ 相切的直線，兩直線相交於點 B；設切點為$E$ 和 $F$。構造${\overrightarrow {AE}}$ 和 ${\overrightarrow {AF}}$。設兩射線與最初較小的圓的交點分別為 $G$ 和 $H$。構造過點$G$ 和 $H$ 且垂直於兩射線的直線。

證明： 與問題13基本相同，只是將 r_a - r_b 替換為 r_a + r_b。

問題 13

構造： 讓我們將較大圓的圓心稱為$A$，較大圓的半徑稱為$r_{a}$，並將較小圓的圓心稱為$B$，較小圓的半徑稱為$r_{b}$。 在較大圓上建立一個任意點，稱為$C$。 構造$[C,r_{b}]$ 和直線${\overline {AC}}$。 令$D=\langle [C,r_{b}],{\overline {AC}}\rangle$ 朝南。 構造$[A,AD]$。 現在，構造兩條與圓$[A,AD]$ 相切的切線，它們在 B 點相交；將切點稱為$E$ 和$F$。 構造${\overrightarrow {AE}}$ 和${\overrightarrow {AF}}$。 將它們與原始較大圓的交點稱為$G$ 和$H$。 構造透過$G$ 和$H$ 的直線，並且垂直於這兩條射線。

證明： 圓 [A, AD] 的半徑為 $r_{a}-r_{b}$。這意味著，如果在 [A, AD] 上存在切點，透過畫射線，我就可以找到 [A, r_a]（即較大的給定圓）上的切點。但是，由於切線在點 $B$ 相交，如果我們增加半徑，我們也得到了 $[B,r_{b}]$ 的切線！透過這樣做，我們構建了與兩個圓相切的直線。

問題 14

我們把三角形的高度稱為 $a$，把三角形的底稱為 $b$。我們畫一個以點 $A$ 為頂點的角。在第一條邊上，從 A 點開始做一個任意距離，在這個距離上，畫出點 $B$。記住線段 ${\overline {AB}}$ 供以後使用。在另一條邊上，畫出點 $C$，使得 ${\overline {AC}}$ 等於三角形的高度。回到第一條邊上，畫出點 $D$，使得 ${\overline {AD}}$ 等於三角形的底。從 D 點畫一條平行線，使它與第二條邊相交於 E 點。這個點將等於底和高的乘積。

畫一個以 ${\overline {AE}}$ 為半徑的圓。從這個圓中畫一條直徑，我們把這個圓的對點稱為 $F{\text{and}}G$。由此，在一個對點上畫一個 60 度角，然後把它平分。（提示：你可以透過部分畫一個等邊三角形來畫一個 60 度角）。在另一個對點上，畫出圓的切線。找到平分線和切線的交點。我們把這個點稱為 $H$。取 H 點到對點的距離（簡寫為 $c$），並找到 $c{\text{and}}{\overline {AB}}$ 的幾何平均值。這條長度將是等邊三角形的邊長。

一個邊長如上所述的等邊三角形將與給定三角形有相同的面積。

（證明的概要）： 第一次使用平行線的操作是將底乘以高。之後，使用圓的操作是將先前的乘積乘以二。之後，使用三角形的操作是把它除以 sqrt(3)。最後，使用幾何平均數的操作是開平方。

由於三角形的面積為 ${\frac {bh}{2}}$，等邊三角形的面積為 ${\frac {s^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$。我們可以很容易地看到，我們使用簡單的代數來求解 $s$。