工程師與科學家高階數學/變數變化

變數變化

與常微分方程（ODE）類似，偏微分方程（PDE，或更準確地說，整個初始邊界值問題（IBVP））可以透過某種變數修改變得更容易處理。到目前為止，我們只處理過在邊界處指定流體速度值u為零的邊界條件。儘管流體力學可能比這複雜得多（千禧年的一句輕描淡寫），但為了多樣性，讓我們現在看看傳熱。

如前所述，一維擴散方程也可以描述一維的熱流。想想熱量如何以一維流動：一種可能性是一根完全橫向絕緣的杆，因此熱量只沿著杆流動而不穿過它（但要注意，可以在不考慮二維的情況下，考慮沿著杆的熱量損失/獲得）。

如果這根杆是有限長度的，熱量可以進出未絕緣的端點。一根一維杆最多隻有兩個端點（它也可以只有一個或沒有：杆可以被建模為“非常長”），邊界條件可以指定這些端點發生的事情。例如，可以指定邊界處的溫度，或者可能是熱流，或者可能是兩者的組合。

熱流方程通常寫為

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\,$

它與平行板流動方程相同，只是將ν替換為α，y替換為x。

邊界固定溫度

讓我們考慮一根長度為 1 的杆，其邊界處指定（固定）了溫度。IBVP 是

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\,$

$u(x,0)=\varphi (x)\,$

$u(0,t)=u_{0}\,$

$u(1,t)=u_{1}\,$

φ(x) 是t = 0 時的溫度。看看BCs 說明了什麼：在所有時間，x = 0 時的溫度是u₀，而在x = 1 時的溫度是u₁。注意，這同樣可以是平行板問題：u₀ 和u₁ 將代表壁面速度。

PDE 很容易分離，與前幾章基本相同

${\frac {\partial }{\partial t}}(u(x,t))=\alpha {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(u(x,t))\,$

${\frac {\partial }{\partial t}}(X(x)T(t))=\alpha {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(X(x)T(t))\,$

$X(x){\frac {\partial }{\partial t}}(T(t))=\alpha T(t){\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(X(x))\,$

$X(x)T'(t)=\alpha T(t)X''(x)\,$

${\frac {T'(t)}{\alpha T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}\,$

${\Big \Downarrow }$

${\frac {T'(t)}{\alpha T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}=-k^{2}\,$

${\Big \Downarrow }$

${\frac {T'(t)}{\alpha T(t)}}=-k^{2}\Rightarrow T'(t)=-k^{2}\alpha T(t)\Rightarrow T(t)=C_{1}e^{-k^{2}\alpha t}\,$

${\frac {X''(x)}{X(x)}}=-k^{2}\Rightarrow X''(x)=-k^{2}X(x)\Rightarrow X(x)=C_{2}\cos(kx)+C_{3}\sin(kx)\,$

${\Big \Downarrow }$

$u(x,t)=X(x)T(t)=C_{1}e^{-k^{2}\alpha t}(C_{2}\cos(kx)+C_{3}\sin(kx))$

$u(x,t)=e^{-k^{2}\alpha t}(A\cos(kx)+B\sin(kx))$

現在，代入邊界條件

$u_{0}=u(0,t)\,$

$u_{0}=e^{-k^{2}\alpha t}(A\cos(k\cdot 0)+B\sin(k\cdot 0))\,$

$u_{0}=Ae^{-k^{2}\alpha t}\,$

$u_{1}=u(1,t)\,$

$u_{1}=e^{-k^{2}\alpha t}(A\cos(k\cdot 1)+B\sin(k\cdot 1))\,$

$u_{1}=e^{-k^{2}\alpha t}(A\cos(k)+B\sin(k))\,$

我們無法繼續進行。 除了其他問題之外， 指數因子中的t（之前被除掉了）阻止了任何內容從這裡出來。

這是另一個例子，證明了假設 u(x, t) = X(x)T(t) 是錯誤的。 唯一阻止我們獲得解的是非零邊界條件。 這就是變數替換有幫助的地方：一個新的變數 v(x, t) 將根據 u 定義，它將是可分離的。

想想如何定義 v(x, t) 以使它的邊界條件為零（“齊次”）。 一種方法是

$u(x,t)=v(x,t)+h(x)\,$

這種形式的靈感來自邊界條件的出現，並且可以很容易地看到

$u(0,t)=u_{0}\,$

$u(1,t)=u_{1}\,$

${\Big \Downarrow }$

$v(0,t)+h(0)=u_{0}\,$

$v(1,t)+h(1)=u_{1}\,$

如果 h(0) = u₀ 且 h(1) = u₁， v(x, t) 將確實具有零邊界條件。 幾乎任何滿足這些條件的 h(x) 選擇都可以做到，但只有一個是最佳選擇。 將該替換代入偏微分方程

${\frac {\partial }{\partial t}}(u(x,t))=\alpha {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(u(x,t))\,$

${\frac {\partial }{\partial t}}(v(x,t)+h(x))=\alpha {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(v(x,t)+h(x))\,$

${\frac {\partial v}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+\alpha {\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}}\,$

所以現在偏微分方程由於涉及 h 的新項而被搞亂了。 這將阻止分離...

...除非最後一項恰好為零。 而不是希望它為零，我們可以要求它（上面暗示的最佳選擇），並將其他對 h(x) 的要求放在它旁邊

${\frac {d^{2}h}{dx^{2}}}=0\,$

$h(0)=u_{0}\,$

$h(1)=u_{1}\,$

請注意，由於 *h* 僅是 *x* 的函式，偏導數變為普通導數。以上構成一個非常簡單的邊值問題，其唯一解為

$h(x)=(u_{1}-u_{0})x+u_{0}\,$

它只是一條直線。請注意，如果針對 *u*(*x*) 求解穩態（與時間無關）問題，就會出現這種情況。換句話說，只要觀察情況的物理特性，就可以很容易地從 *h* 中推匯出結果。

現在問題簡化為求解 *v*(*x*, *t*)。該 IBVP 將為

${\frac {\partial v}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}\,$

$v(x,0)=\varphi (x)-h(x)=\varphi (x)-((u_{1}-u_{0})x+u_{0})\,$

$v(0,t)=0\,$

$v(1,t)=0\,$

請注意，IC 在變換下發生了變化。該 IBVP 的解是透過變數分離和疊加在上一章中找到的，結果為

$v(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-(n\pi )^{2}\alpha t}\int _{0}^{1}2\sin(n\pi x)(\varphi (x)-((u_{1}-u_{0})x+u_{0}))\ dx\cdot \sin(n\pi x)\,$

現在，根據變數更改的定義方式，可以透過新增 h(x) 來求解 *u*(*x*, *t*)

$u(x,t)=v(x,t)+h(x)\,$

$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-(n\pi )^{2}\alpha t}\int _{0}^{1}2\sin(n\pi x)(\varphi (x)-h(x))\ dx\cdot \sin(n\pi x)+(u_{1}-u_{0})x+u_{0}\,$

該解看起來是穩態部分（即 *h*(*x*)）和瞬態部分（即 *v*(*x*)）的總和。

變數變換的視覺化。

邊界處的時間變化溫度

請注意，這對非恆定 BC 來說效果不佳。例如，如果 IBVP 為

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\,$

$u(x,0)=\varphi (x)\,$

$u(0,t)=u_{0}(t)\,$

$u(1,t)=u_{1}(t)\,$

那麼，變換它將需要 *h* = *h*(*x*, *t*)。重複使用之前介紹的 *u*(*x*, *t*) = *v*(*x*, *t*) + *h*(*x*, *t*) 最終將導致

${\frac {\partial v}{\partial t}}+{\frac {\partial h}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+\alpha {\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}}\,}$

$v(x,0)=\varphi (x)-h(x,0)\,$

$v(0,t)=0\,$

$v(1,t)=0\,$

其中，為了簡化上述偏微分方程

${\frac {\partial h}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}}\,$

$h(x,0)={\mbox{anything}}\,$

$h(0,t)=u_{0}(t)\,$

$h(1,t)=u_{1}(t)\,$

儘管在初始條件的選擇上自由度很大，但實際上並沒有讓問題變得更簡單。

但這並不完全沒有用。要注意的是，對 h 的偏微分方程是**刻意選擇**的，是為了簡化 v(x, t) 的偏微分方程（會導致包含 h 的項抵消），這可能會引發疑問：這樣做有必要嗎？

答案是否定的。如果是這樣，我們**選擇**的 h 的偏微分方程將不滿足，這會導致 v(x, t) 的偏微分方程中出現額外的項。然而，v(x, t) 不再可分離的初邊值問題可以透過**特徵函式展開**來求解，其完整過程將在稍後介紹。值得注意的是，特徵函式展開需要齊次邊界條件，因此變換是必要的。

因此，這個問題目前必須擱置，沒有結論。我告訴過你，邊界條件可能會搞亂一切。

壓力驅動的瞬態平行板流動

現在回到流體力學。之前，我們處理的是最初在運動但由於阻力和驅動力的缺失而減速的流動。也許，如果我們有一個最初靜止的流體（即零初始條件），但被某個恆定的壓差設定為運動狀態，情況會更有趣。這種情況的初邊值問題將是

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}-{\frac {P_{x}}{\rho }}\,$

$u(y,0)=0\,$

$u(0,t)=0\,$

$u(1,t)=0\,$

這個帶有壓強項的偏微分方程之前已經描述過。壓強項是驅動流動的因素；它被認為是恆定的。

變數變換的目的是從偏微分方程中移除壓強項（阻止分離），同時保持邊界條件的齊次性。

一種方法是在 u(x, t) 中新增一些東西，可以是 t 的函式，也可以是 y 的函式，這樣微分就會留下一個常數，可以抵消壓強項。新增 t 的函式將非常不利，因為它會導致時間相關的邊界條件，所以讓我們嘗試新增一個 y 的函式

$u(y,t)=v(y,t)+f(y)\,$

將此代入偏微分方程

${\frac {\partial }{\partial t}}(v(y,t)+f(y))=\nu {\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}(v(y,t)+f(y))-{\frac {P_{x}}{\rho }}\,$

${\frac {\partial v}{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}-{\frac {P_{x}}{\rho }}\,$

該過程僅在以下條件成立時才能簡化 PDE 並保留邊界條件

$0=\nu {\frac {d^{2}f}{dy^{2}}}-{\frac {P_{x}}{\rho }}\,$

$f(0)=0\,$

$f(1)=0\,$

第一個條件是一個常微分方程，它用於簡化關於v(y, t) 的偏微分方程，將導致最後兩項的抵消。另外兩個條件是用來保持問題的齊次邊界條件的（注意，如果u(y, t) 的邊界條件不是齊次的，那麼f(y) 上的邊界條件需要被選擇來修正它）。

上述邊值問題的解很簡單

$f(y)={\frac {P_{x}}{2\rho \nu }}(y^{2}-y)\,$

所以f(y) 成功地被確定了。注意，該函式關於y = 1/2 對稱。關於v(y, t) 的初邊值問題變為

${\frac {\partial v}{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}\,$

$v(y,0)=-f(y)={\frac {P_{x}}{2\rho \nu }}(y-y^{2})\,$

$v(0,t)=0\,$

$v(1,t)=0\,$

這是我們一直在反覆解決的同一個初邊值問題。關於v(y, t) 的解是

$v(y,t)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-(n\pi )^{2}\alpha t}\int _{0}^{1}2\sin(n\pi y)\left({\frac {P_{x}}{2\rho \nu }}(y-y^{2})\right)\ dy\cdot \sin(n\pi y)\,$

而關於u(y, t) 的解則根據變數變化的定義得到

$u(y,t)=v(y,t)+f(y)\,$

$u(y,t)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-(n\pi )^{2}\nu t}\int _{0}^{1}2\sin(n\pi y)\left({\frac {P_{x}}{2\rho \nu }}(y-y^{2})\right)\ dy\cdot \sin(n\pi y)+{\frac {P_{x}}{2\rho \nu }}(y^{2}-y)\,}$

$u(y,t)={\frac {P_{x}}{2\rho \nu }}(y^{2}-y)-{\frac {P_{x}}{2\rho \nu }}\sum _{n=1}^{\infty }e^{-(n\pi )^{2}\nu t}\cdot {\frac {4(-1)^{n}-4}{n^{3}\pi ^{3}}}\sin(n\pi y)\,$

此解符合我們的預期：它從平面開始，並迅速接近拋物線輪廓。這是在現實IC章節中推匯出的穩態流的相同拋物線；積分是針對整數n計算的，簡化了它。

仔細觀察這個解，我們可以發現一些有趣的東西：這只是“反向”衰減的平行板流。流不是從拋物線開始並逐漸接近u = 0，而是從u = 0 開始，並逐漸接近拋物線。

時間相關的擴散率

在這個例子中，我們將改變時間，一個自變數，而不是改變因變數。考慮以下IBVP

${\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {1}{1+t^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\,$

$u(x,0)=\varphi (x)\,$

$u(0,t)=0\,$

$u(1,t)=0\,$

注意，這是一個可分離的；變換不是必需的，但是它會更容易，因為我們可以重複使用以前的解決方案，如果它可以被轉化成熟悉的東西。

讓我們不要參與物理學的討論，只把它稱為擴散問題。它可以是動量的擴散（如流體力學），熱量的擴散（傳熱），化學物質的擴散（化學），或者僅僅是數學家的玩具。換句話說，一個坦白：它是專門為了作為一個例子而被編造的。

二階導數前面的（時間相關）因子被稱為擴散率。之前，它是一個常數α（稱為“熱擴散率”）或常數ν（“運動粘度”）。現在，它隨著時間衰減。

為了透過變換簡化偏微分方程，我們尋找使因子可以抵消的方法。一種方法是定義一個新的時間變數，稱為τ，並讓它與t的關係保持任意。鏈式法則給出

${\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial u}{\partial \tau }}\cdot {\frac {d\tau }{dt}}\,$

將此代入偏微分方程

${\frac {\partial u}{\partial \tau }}\cdot {\frac {d\tau }{dt}}={\frac {1}{1+t^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\,$

現在注意，如果

${\frac {d\tau }{dt}}={\frac {1}{1+t^{2}}}\Rightarrow \tau =\arctan(t)+C\,$

C 是完全任意的。然而，C 的最佳選擇是使當t = 0 時 τ = 0 的那個，因為這不會改變在t = 0 時定義的IC；所以，取C = 0。注意，無論選擇C 為何，邊界條件都不會改變，除非它們是時間相關的，在這種情況下，它們無論選擇C 為何都會改變。IBVP 被轉化為

${\frac {\partial u}{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\,$

$u(x,0)=\varphi (x)\,$

$u(0,\tau )=0\,$

$u(1,\tau )=0\,$

找出解並恢復原始變數

$u(x,\tau )=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-(n\pi )^{2}\tau }\int _{0}^{1}2\sin(n\pi x)\varphi (x)\ dx\cdot \sin(n\pi x)\,$

${\Big \Downarrow }$

$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-(n\pi )^{2}\arctan(t)}\int _{0}^{1}2\sin(n\pi x)\varphi (x)\ dx\cdot \sin(n\pi x)\,$

需要注意的是，與之前的例子不同，問題的物理性質（如果有的話）無法幫助我們。同樣值得一提的是，該解並不會隨著時間的推移而限制到u = 0。

總結

對於偏微分方程來說，變數變換的應用方式略有不同，因為偏微分提供了更多的自由度。在本章中，我們選擇了一個看起來合適的通用變換形式（受阻於無法輕鬆求解的部分），列出了一系列需求，並定義了該變換以唯一地滿足這些需求。對常微分方程執行相同的操作，往往會演變成一種機械化的嘗試，如同猴子使用打字機一樣。

許多簡單的小變化不言而喻。例如，到目前為止，我們一直在處理長度為“1”的杆或間距為“1”的板。如果杆長 5 米？那麼空間將需要使用以下變換進行無量綱化：

$x=5\ {\mbox{m}}\cdot {\hat {x}}\,$

簡單的無量綱化，確實很簡單；然而，對於包含更多項的偏微分方程，它可能導致尺度分析，進而導致攝動理論，所有這些將在後面的章節中解釋。

值得注意的是，IBVP 的物理性質經常暗示需要進行哪種變換。即使是一些非線性問題也可以透過這種方式解決。

這個主題還沒有結束，變數變換將在以後的章節中再次討論。