工程師和科學家的高階數學/有限差分法

有限差分法

有限差分法是一種基本的數值方法，它基於將導數近似為差商。

$u'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}}$

基本思想是如果 $\Delta x$ 很“小”，那麼

$u'(x)\approx {\frac {u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}}$

類似地，

$u''(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {u(x+\Delta x)-2u(x)+u(x-\Delta x)}{\Delta x^{2}}}$

$u''(x)\approx {\frac {u(x+\Delta x)-2u(x)+u(x-\Delta x)}{\Delta x^{2}}}$

這是一個從微積分後退的步驟。我們不是取極限並得到變化的精確率，而是將導數近似為差商。通常，差商中出現的“差”(即分子中的量)被稱為*有限差*，它是導數的離散模擬，並在除以 $\Delta x^{n}$ 時近似於 $n^{\text{th}}$ 階導數。

用有限差替換微分方程中的所有導數將消除微分並得到代數方程，這些方程可能是耦合的，具體取決於離散化的應用方式。

例如，方程

${\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$

可以離散化為

${\frac {u(x,t+\Delta t)-u(x,t)}{\Delta t}}={\frac {u(x+\Delta x,t)-2u(x,t)+u(x-\Delta x,t)}{\Delta x^{2}}}$

${\Big \Downarrow }$

$u(x,t+\Delta t)=u(x,t)+{\frac {\Delta t}{\Delta x^{2}}}(u(x+\Delta x,t)-2u(x,t)+u(x-\Delta x,t))$

這種離散化方法很不錯，因為“下一個”值（時間上）可以用不同位置的“更早”值表示。