工程師和科學家的高等數學/緒論與分類

緒論與分類

前面章節的目的是提供對偏微分方程及其解法的淺顯介紹，避免嚇跑任何人。許多基本概念和非常重要的細節都被省略了。從這一點開始，我們將以稍微嚴格的方式進行；然而，除了一個本科常微分方程課程之外的知識，再加上一些集合論和無數小時的維基百科學習，應該就足夠了。

一些定義和結果

形式為

f(u)=C\,

的方程稱為偏微分方程，如果 $u$ 是未知的，並且函式 $f$ 包含偏導數。更簡潔地說， $f$ 是一個運算元或一個對映，它導致（除其他外） $u$ 的偏導數。 $u$ 稱為因變數，在本上下文中，選擇此字母很常見。偏微分方程的例子（參考上述定義）

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+u{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2=0\qquad {\mbox{where}}\quad f(u)={\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+u{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\ ,\quad C=-2

{\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\qquad {\mbox{where}}\quad f(u)={\frac {\partial u}{\partial t}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\ ,\quad C=0

{\frac {\partial ^{4}u}{\partial x^{4}}}=0\qquad {\mbox{where}}\quad f(u)={\frac {\partial ^{4}u}{\partial x^{4}}}\ ,\quad C=0

注意， $u$ 的具體構成並未明確說明，它可以是一個函式、多個函式打包成向量，或其他形式；但如果 $u$ 滿足該偏微分方程，則稱之為該方程的解。

另一個需要觀察的是 $C$ 的表面冗餘性，其作用來自於線性方程的研究。如果 $C=0$ ，則該方程稱為齊次方程，否則稱為非齊次方程。

值得一提的是，“函式”、“運算元”和“對映”這些術語可以互相替換使用，並且函式可以包含微分或任何運算。本文將優先（但不唯一）使用“函式”一詞。

偏微分方程的階數是指其中出現的最高階導數的階數，但通常會區分變數。例如，方程

{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(EI{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)=-\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}\,

關於 $t$ 是二階的，關於 $x$ 是四階的（無論 $EI$ 的形式如何，都會產生四階導數）。

線性偏微分方程

假設 $f(u)=L(u)$ ，並且 $L$ 滿足以下性質

$L(u+v)=L(u)+L(v)\,$
$L(\alpha u)=\alpha L(u)\,$

對於任何標量 $\alpha$ 。第一個性質稱為可加性，第二個性質稱為齊次性。如果 $L$ 是可加的且齊次的，則稱其為線性函式，此外，如果它涉及偏微分和

L(u)=C\,

則上述方程為線性偏微分方程。這就是 $C$ 的重要性所在。考慮方程

{\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+A

其中 $A$ 不是 $u$ 的函式。現在，如果我們透過

L(u)=0\quad {\mbox{where}}\quad L(u)={\frac {\partial u}{\partial t}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-A\,

表示該方程，則 $L$ 既不滿足可加性也不滿足齊次性，因此是非線性的（注意：定義條件的方程是“齊次的”，但使用了該術語的不同用法）。如果相反

L(u)=A\quad {\mbox{where}}\quad L(u)={\frac {\partial u}{\partial t}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\,

則 $L$ 現在是線性的。因此請注意， $L$ 和 $C$ 的選擇通常不是唯一的，但是如果一個方程可以寫成線性形式，則稱其為線性方程。

線性方程非常流行。這種流行的原因之一是稱為疊加原理的一點小魔法。假設 $u_{1}$ 和 $u_{2}$ 都是線性齊次方程的解（從現在起， $L$ 將表示線性函式），即

L(u_{1})=0\quad {\mbox{and}}\quad L(u_{2})=0\,

對於同一個 $L$ 。我們可以將 $u_{1}$ 和 $u_{2}$ 的組合代入偏微分方程，並根據線性函式的定義，可以看出

L(a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2})=0\,

a_{1}L(u_{1})+a_{2}L(u_{2})=0\,

對於某些常數 $a_{1}$ 和 $a_{2}$ 。如前所述， $u_{1}$ 和 $u_{2}$ 都是解，這意味著

a_{1}\cdot 0+a_{2}\cdot 0=0\qquad ({\mbox{Since}}\quad L(u_{1})=0\quad {\mbox{and}}\quad L(u_{2})=0)\,

0=0\,

所有這些意味著，如果 $u_{1}$ 和 $u_{2}$ 都是線性齊次方程 $L(u)=0$ 的解，那麼 $a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}$ 也是該偏微分方程的解。 $a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}$ 被稱為 $u_{1}$ 和 $u_{2}$ 的 線性組合。這個結果對於更多的組合也成立，一般來說，

疊加原理
假設在方程 $L(u)=0\,$ 中，函式 $L$ 是線性的。如果某個序列 $u_{i}$ 滿足該方程，也就是說如果 $L(u_{0})=0\ ,\ L(u_{1})=0\ ,\ L(u_{2})=0\ ,\ \dots \,$ 那麼該序列的任何線性組合也滿足該方程 $L\left(\sum a_{i}u_{i}\right)=0\,$ 其中 $a_{i}$ 是一個常數序列，求和是任意的。

注意，這裡沒有提到偏微分。事實上，對於**任何**線性方程，無論是代數方程、積分方程還是偏微分方程，該原理都成立。關於非齊次方程，該規則可以很容易地擴充套件。考慮非齊次方程

L(u)=C\,

假設該方程由 $u_{p}$ 解出，並且某個序列 $u_{i}$ 解出了“相關的齊次問題”，

L(u_{p})=C\,

L(u_{i})=0\,

其中 $L$ 在兩者之間是相同的。例如，透過特定的組合 $u_{p}+a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}$ 可以觀察到疊加原理的擴充套件。

L(u_{p}+a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2})=C\,

L(u_{p})+a_{1}L(u_{1})+a_{2}L(u_{2})=C\,

C+a_{1}\cdot 0+a_{2}\cdot 0=C\,

C=C\,

更一般地，

擴充套件疊加原理
假設在非齊次方程中 $L(u)=C\,$ 函式 $L$ 是線性的。假設該方程由某個 $u_{p}$ 求解，並且相關的齊次問題 $L(u)=0\,$ 由一個序列 $u_{i}$ 求解。也就是說， $L(u_{p})=C\ ;\ L(u_{0})=0\ ,\ L(u_{1})=0\ ,\ L(u_{2})=0\ ,\ \dots \,$ 然後 $u_{p}$ 加上序列 $u_{i}$ 的任何線性組合都滿足原始（非齊次）方程 $L\left(u_{p}+\sum a_{i}u_{i}\right)=C\,$ 其中 $a_{i}$ 是一個常數序列，求和是任意的。

能夠以任意線性組合的方式組合解非常寶貴，因為它允許將複雜問題的解表示為更簡單問題的解。

這就是部分原因，即使是適度非線性的方程也會帶來如此大的困難：在幾乎所有情況下，都不存在類似於疊加原理的東西。

線性方程的分類

二元變數的線性二階偏微分方程的一般形式為

A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+D{\frac {\partial u}{\partial x}}+E{\frac {\partial u}{\partial y}}+F=0

如果大寫字母系數為常數，則該方程稱為**常係數線性方程**，否則稱為**變係數線性方程**；並且，如果 $F$ = 0，則該方程是**齊次的**。字母 $x$ 和 $y$ 用作通用的自變數，它們不必表示空間。方程根據其係數進一步分類；數量

B^{2}-AC\,

稱為**判別式**。方程分類如下：

B^{2}-AC<0\ \Rightarrow \ \mathrm {The\ PDE\ is\ {\underline {elliptic}}.}

B^{2}-AC=0\ \Rightarrow \ \mathrm {The\ PDE\ is\ {\underline {parabolic}}.}

B^{2}-AC>0\ \Rightarrow \ \mathrm {The\ PDE\ is\ {\underline {hyperbolic}}.}

請注意，如果係數發生變化，則方程可能在一個域中屬於一種分類，而在另一個域中屬於另一種分類。另請注意，所有一階方程都是拋物線的。

解的平滑性受方程型別的有趣影響：即使邊界值不平滑，橢圓方程也會產生平滑的解（直至係數的平滑性）；拋物線方程將導致解的平滑性沿低階變數增加；雙曲線方程保留了非平滑性。

將分類推廣到更多變數，尤其是在始終將一個變數視為時間變數（即與初始條件相關聯，但我們尚未討論此類條件）時，並不十分明顯，定義可能因上下文和來源而異。一種常見的分類方法是使用所謂的橢圓運算元。

定義：橢圓運算元
形式為 $E(u)=-\sum _{k,j}A_{kj}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}+\sum _{l}B_{l}i^{-1}{\frac {\partial u}{\partial x_{l}}}+Cu$ 如果最高階導數的係數陣列 $A$ 是一個正定對稱矩陣，則稱該運算元為橢圓型運算元。 $i$ 是虛數單位。更一般地， $n^{th}$ 階橢圓型運算元是 $E(u)=\sum _{m=0}^{n}\ \sum _{k,j,l,\dots }A_{k,j,l,\dots }^{m}i^{-m}{\frac {\partial ^{m}u}{\partial x_{j}\partial x_{k}\partial x_{k}...}}$ 如果最高階（ $n^{th}$ ) 導數的 $n$ 維繫數陣列類似於正定對稱矩陣。不常見的是，定義被擴充套件到包括負定矩陣。

拉普拉斯運算元的負值， $-\nabla ^{2}u$ ，是橢圓型的，其中 $A_{kj}=-\delta _{k,j}$ 。二階運算元的定義是單獨提供的，因為二階運算元是迄今為止最常見的。

然後，對這些方程進行分類如下：

E(u)=0\ \Rightarrow \ \mathrm {The\ equation\ is\ {\underline {elliptic}}.}

E(u)+k{\frac {\partial u}{\partial t}}=0\ \Rightarrow \ \mathrm {The\ equation\ is\ {\underline {parabolic}}.}

E(u)+k{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=0\ \Rightarrow \ \mathrm {The\ equation\ is\ {\underline {hyperbolic}}.}

對於某個常數 k。當橢圓運算元為拉普拉斯運算元時，這些方程的最經典例子就得到了：拉普拉斯方程、線性擴散方程和波動方程分別為橢圓型、拋物型和雙曲型，並且都在任意數量的空間維度中定義。

其他分類

擬線性

線性形式

A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+D{\frac {\partial u}{\partial x}}+E{\frac {\partial u}{\partial y}}+F=0

之前已經考慮過大寫字母系數可能是自變數的函式的可能性。如果這些係數另外還是 $u$ 的函式，並且不產生或不涉及導數，則該方程稱為擬線性方程。必須強調的是，擬線性方程不是線性方程，沒有疊加原理或其他類似的性質；但是，這些方程受到特別的關注。與一般的非線性方程相比，它們更容易理解，也更容易進行解析、定性和數值分析。

一個常見的擬線性方程，可能將被研究無數年，是平流方程