工程師和科學家高階數學/無量綱化

無量綱化

簡介

你可能已經注意到所有迄今為止處理的問題中可能有一些奇怪的地方：像 $0$ 或 $1$ 這樣的“簡單”數字不斷出現在 BC 和其他地方。例如，到目前為止，我們已經處理了諸如

$u(0,t)=0\,$

$u(1,t)=0\,$

這是為了簡化這本書，因為作者很懶嗎？不。實際上，作者確實很懶，但這實際上是所謂的 **無量綱化** 的結果。

從根本上說，無量綱化做了兩件事

• 將所有單位從問題中剔除。
• 使相關變數的範圍從 $0$ 到 $1$ 或類似的值。

第二點有非常嚴重的含義，我們必須等到以後再談。我們現在將討論從問題中剔除單位：這很重要，因為大多數自然函式在輸入單位時沒有意義。例如，$\sin(2.0s)$ 是一個愚蠢的表示式，沒有任何意義（如果你不相信，可以考慮它的泰勒展開式）。

不要誤解：你可以保持單位不變，解決任何你喜歡的問題。這就是為什麼角速度的單位是 Hz ($s^{-1}$)，因此 $\sin(2.0Hzt)$ 有意義，如果 $t$ 以秒為單位（或者可以使其成為秒）。

無量綱化的動機可以透過注意到變數與維度（“維度”包括大小和單位）的比率有不斷出現的趨勢而看出。檢查一下穩態平行板流動（一個 ODE）的解決方法，板間距為 $D$，**而不是 $1$**，會發生什麼**

${\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {P_{x}}{\nu \rho }}\,$

$u(0)=0\,$

$u(D)=0\,$

現在讓我們保持 $y$ 和 $L$ 的維度未指定。解決這個 BVP

${\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {P_{x}}{\nu \rho }}\qquad \Rightarrow \qquad u={\frac {P_{x}}{2\nu \rho }}y^{2}+C_{1}y+C_{0}\,$

$u(0)=0={\frac {P_{x}}{2\nu \rho }}\cdot 0^{2}+C_{1}\cdot 0+C_{0}\qquad \Rightarrow \qquad C_{0}=0\,$

$u(D)=0={\frac {P_{x}}{2\nu \rho }}D^{2}+C_{1}D\qquad \Rightarrow \qquad C_{1}=-{\frac {P_{x}}{2\nu \rho }}D\,$

${\Big \Downarrow }$

$u(y)={\frac {P_{x}}{2\nu \rho }}(y^{2}-Dy)\,$

${\Big \Downarrow }$

$u(y)={\frac {D^{2}P_{x}}{2\nu \rho }}\left(\left({\frac {y}{D}}\right)^{2}-{\frac {y}{D}}\right)\,$

注意我們有 $y/D$ 出現。這不是巧合；這意味著無量綱問題（或者至少是半無量綱。我們還沒有討論過 $u$ 的維度）可以透過改變 $y$ 變數來設定。

${\hat {y}}={\frac {y}{D}}\,$

${\hat {y}}$ 是 $y$ 的歸一化版本，它的範圍從 $0$ 到 $1$，其中 $y$ 變化範圍從 $0$ 到 $D$。據說$y$ 按 $L$ 縮放。

這個新的變數可以代入問題

$u({\hat {y}})={\frac {D^{2}P_{x}}{2\nu \rho }}({\hat {y}}^{2}-{\hat {y}})\,$

由於新變數不包含任何單位，因此如果 $u$ 具有速度單位，則有理係數必須具有速度單位。考慮到這一點，係數可以被除

${\frac {u({\hat {y}})}{\cfrac {D^{2}P_{x}}{2\nu \rho }}}={\hat {y}}^{2}-{\hat {y}}\,$

我們可以定義另一個新變數，無量綱速度

${\hat {u}}={\frac {u({\hat {y}})}{\cfrac {D^{2}P_{x}}{2\nu \rho }}}\,$

將此代入方程

${\hat {u}}({\hat {y}})={\hat {y}}^{2}-{\hat {y}}\,$

現在是時候問一個重要的問題：為什麼？

有很多好處。原始問題涉及 4 個引數：粘度、密度、壓力梯度和壁間距離。在這個完全無量綱化的解中，恰好沒有這樣的引數。上面的簡化方程完全描述瞭解的特性，它包含所有相關的資訊。

一個無量綱問題的解比一個特定的有量綱問題的解更有用。這在問題只產生數值解的情況下尤其如此：求解無量綱問題可以大大減少需要製作的圖表和圖形數量，因為你已經減少了可能影響解的引數數量。

這引出了另一個重要的問題，也是本章的總結：在這裡，我們首先解決了一個通用的維度問題，然後對其進行了無量綱化。這種便利在更復雜的問題中將無法實現。是否可以在事先進行無量綱化？是的。回憶一下邊值問題

${\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {P_{x}}{\nu \rho }}\,$

$u(0)=0\,$

$u(D)=0\,$

請注意，$y$ 在我們感興趣的域內從 $0$ 變化到 $D$。因此，用 $D$ 縮放 $y$ 是自然的。

${\hat {y}}={\frac {y}{D}}\,$

請注意，我們也可以用 $\pi D$ 或 e^10.0687 D 這樣的數字來縮放 $y$，並最終得到 $y$ 的無量綱化，並且所有數學運算都是合理的。但是，$D$ 單獨 是最好的選擇，因為得到的變數 ${\hat {y}}$ 將在 $0$ 到 $1$ 之間變化。用這種比例選擇，該變數除了是無量綱的，還被稱為歸一化；歸一化是一個理想的屬性，因為它可以簡化數學運算、提高數值計算精度、提供量級感等等。

那麼 $u$ 呢？$y$ 的特性是已知的，但 $u$ 則不然（我們為什麼要解決問題？）。讓我們為 $u$ 的未知比例取一個名稱，比如 $u_{s}$，並用這個未知常數來歸一化 $u$

${\hat {u}}={\frac {u}{u_{s}}}\qquad \Rightarrow \qquad u=u_{s}{\hat {u}}\,$

使用鏈式法則，新的變數可以代入 ODE

${\frac {du}{dy}}={\frac {d}{dy}}(u)={\frac {d}{dy}}(u_{s}{\hat {u}})=u_{s}{\frac {d{\hat {u}}}{dy}}=u_{s}{\frac {d{\hat {u}}}{d{\hat {y}}}}\cdot {\frac {d{\hat {y}}}{dy}}=u_{s}{\frac {d{\hat {u}}}{d{\hat {y}}}}\cdot {\frac {d}{dy}}\left({\frac {y}{D}}\right)={\frac {u_{s}}{D}}{\frac {d{\hat {u}}}{d{\hat {y}}}}\,$

${\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {d}{dy}}\left({\frac {du}{dy}}\right)={\frac {d}{dy}}\left({\frac {u_{s}}{D}}{\frac {d{\hat {u}}}{d{\hat {y}}}}\right)={\frac {u_{s}}{D}}{\frac {d}{dy}}\left({\frac {d{\hat {u}}}{d{\hat {y}}}}\right)={\frac {u_{s}}{D}}{\frac {d}{d{\hat {y}}}}\left({\frac {d{\hat {u}}}{d{\hat {y}}}}\right)\cdot {\frac {d{\hat {y}}}{dy}}={\frac {u_{s}}{D}}{\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}\cdot {\frac {d}{dy}}\left({\frac {y}{D}}\right)={\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {u_{s}}{D^{2}}}{\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}\,$

${\Big \Downarrow }$

${\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {u_{s}}{D^{2}}}{\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}\,$

因此我們現在得到了導數。它可以代入微分方程

${\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {P_{x}}{\nu \rho }}\,$

${\frac {u_{s}}{D^{2}}}{\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}={\frac {P_{x}}{\nu \rho }}\,$

$u_{s}{\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}={\frac {D^{2}P_{x}}{\nu \rho }}\,$

請記住，$u_{s}$ 是從薄空中提取的某個常數。因此，它可以是任何我們想要的。為了使方程無量綱化並儘可能簡化它，我們可以選擇

$u_{s}={\frac {D^{2}P_{x}}{\nu \rho }}\,$

這樣 ODE 將變成

${\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}=1\,$

邊界條件是齊次的，因此它們很容易簡化。注意到當 $y=D$ 時，${\hat {y}}=1$

${\hat {u}}(0)=0\,$

${\hat {u}}(1)=0\,$

現在可以快速求解

${\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}=1\qquad \Rightarrow \qquad {\hat {u}}={\frac {{\hat {y}}^{2}}{2}}+C_{1}{\hat {y}}+C_{0}\,$

${\hat {u}}(0)=0={\frac {0^{2}}{2}}+C_{1}\cdot 0+C_{0}\qquad \Rightarrow \qquad C_{0}=0\,$

${\hat {u}}(1)=0={\frac {1^{2}}{2}}+C_{1}\cdot 1\qquad \Rightarrow \qquad C_{1}=-{\frac {1}{2}}\,$

${\Big \Downarrow }$

${\hat {u}}({\hat {y}})={\frac {1}{2}}({\hat {y}}^{2}-{\hat {y}})\,$

因此，這與從維數解發展而來的無量綱解並不完全相同：右側有一個因子為 $1/2$。因此，$u_{s}$ 缺少 $2$。這不是問題，兩種發展都解決了問題並將其無量綱化。注意，在這樣做時，我們在甚至解決 BVP 之前就得到了以下結果

$u_{s}={\frac {D^{2}P_{x}}{\nu \rho }}\,$

這說明了速度大小的很多資訊。

在結束本章之前，值得一提的是，一般來說，如果 ${\hat {u}}=uu_{s}+C_{u}$ 和 ${\hat {y}}=yy_{s}+C_{y}$，其中 $u_{s}$，$y_{s}$，$C_{u}$，和 $C_{y}$ 都是常數，

${\frac {\partial ^{n}u}{\partial y^{n}}}={\frac {\partial ^{n}{\hat {u}}}{\partial {\hat {y}}^{n}}}\cdot {\frac {u_{s}}{y_{s}^{n}}}\,$

萊布尼茲符號絕對是一件好事。