工程師與科學家高階數學/平行板流動：簡單初值問題

平行板流動：簡單初值問題

公式

與常微分方程一樣，變數分離很容易理解，並且在可行的情況下都能有效地工作。對於常微分方程，我們使用替換規則來允許反微分，但對於偏微分方程，這是一個完全不同的過程，涉及讓依賴關係穿過偏導數。

將使用一個流體力學示例。

考慮兩塊彼此平行且範圍很大的平板，相隔 1 個距離。流體僅在一個方向（稱為x）上平滑地流過這兩塊平板之間。這可以在下面的圖片中看到。

平行板流動問題的視覺化。

經過一些假設，可以得到以下偏微分方程來描述流體流動

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}-{\frac {P_{x}}{\rho }}\,$

這個線性偏微分方程是簡化 Navier-Stokes 方程的結果，Navier-Stokes 方程是一個大型非線性偏微分方程組，描述了流體流動。u 是流體在x方向上的速度，ρ 是流體的密度，ν 是運動粘度（打個比方，流體分子之間的摩擦力有多大），而P_x 是壓力梯度或壓力梯度向量場。注意u = u(y, t)，與x無關。換句話說，流體上游的狀態與下游的狀態沒有區別。請注意，我們沒有考慮湍流，並且流動狀態在頂板和底板之間變化，因為當u接近平板時速度為 0。

u(y, t) 是速度剖面。流體力學通常關注速度場，這與剛體運動學相反，在剛體運動學中，物體的位移是重要的。換句話說，對於剛體，物體的所有“點”都以相同的速度運動。對於流體，我們得到速度場，每個點都以其自身的速度運動。

P_x/ρ 的比率描述了驅動力；它是在x方向上的壓力變化（梯度）。如果P_x 為負，則下游（正x）的壓力小於上游（負x）的壓力，流體將從左向右流動，即，u(y, t) 通常為正。

現在開始建立一個具體的問題：假設長時間施加一個恆定的負壓力梯度，直到速度剖面穩定（穩定意味著“不隨時間變化”）。然後突然移除壓力梯度，在沒有這種驅動力的情況下，流體將減速並停止。這就是我們將用於示例計算的假設。我們假設流動是穩定的，然後隨著壓力的移除（用P_x/ρ表示）而衰減。因此，我們可以從模型中移除 -P_x/ρ 項，見下面的（PDE）。

初始流動剖面。

假設在移除壓力之前，速度剖面為u(y, t) = sin(π y)。速度剖面指的是，由於速度是在流動的橫截面上測量的，因此它們形成一個凸起。這是有道理的：摩擦力決定了靠近平板的運動較少（見下一段），因此我們預計在中心線（y = 1/2）附近的速度最大。這個假設的剖面並不完全正確，但目前將作為示例。它在感興趣的域中在右邊繪製。

在深入數學計算之前，還需要說明一點：邊界條件。在本例中，BC 稱為**無滑移條件**，它指出流體在壁面（邊界）處的速度等於壁面的速度。如果我們沒有做這個假設，流體將像剛體一樣運動。由於本問題中壁面（或平板）的速度都為零，因此流體在這兩個邊界處的速度必須為零。因此，BC 為u(0, t) = 0（底板）和u(1, t) = 0（頂板）。

IBVP 為

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\qquad {\mbox{(PDE)}}\,$

$u(y,0)=\sin(\pi y)\qquad {\mbox{(IC)}}\,$

$u(0,t)=0\,$

$u(1,t)=0\qquad {\mbox{(BCs)}}\,$

請注意，初始條件 IC 與本書第一部分中的凸起相同，只是方向相反。這個 IC 意味著當我們開始計算時，流動已經開始了。我們實際上是在計算流動速度的衰減。

分離

變數以以下方式分離：我們假設$u(y,t)=Y(y)T(t)$，其中Y 和T 分別是y 和t 的（未知）函式。將這種形式代入偏微分方程

${\frac {\partial }{\partial t}}(u(y,t))=\nu {\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}(u(y,t))\,$

使用 $u(y,t)=Y(y)T(t)$ 會得到

${\frac {\partial }{\partial t}}(Y(y)T(t))=\nu {\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}(Y(y)T(t))\,$

$Y(y){\frac {\partial }{\partial t}}(T(t))=\nu T(t){\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}(Y(y))\,$

$Y(y)T'(t)=\nu T(t)Y''(y)\,$

${\frac {T'(t)}{\nu T(t)}}={\frac {Y''(y)}{Y(y)}}\,$

仔細觀察最後一個方程：方程的左邊嚴格取決於t，而右邊嚴格取決於y，並且它們相等。t可以獨立於y變化，它們仍然相等，y可以獨立於t變化，它們仍然相等。只有當兩邊都是常數時才會發生這種情況。可以如下所示

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {T'(t)}{\nu T(t)}}\right)={\frac {d}{dt}}\left({\frac {Y''(y)}{Y(y)}}\right)\,$

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {T'(t)}{\nu T(t)}}\right)=0\,$

對兩邊求導，將右邊變為常數 0。左邊保持不變。然後對兩邊求積分得到

${\frac {T'(t)}{\nu T(t)}}={\mbox{a constant}}\,$

對常微分求積分恢復左邊，但將右邊保留為常數。類似地，Y''/Y 也是一個常數。

所討論的常數稱為分離常數。我們可以簡單地給它一個字母，比如A，但對常數的良好選擇將使以後的工作更容易。在這種情況下，最好的選擇是 -k²。這將在稍後得到證明（但應該再次強調，它可以以你想要的任何方式表示，假設它可以跨越域）。

${\frac {T'(t)}{\nu T(t)}}={\frac {Y''(y)}{Y(y)}}=-k^{2}\,$

${\Big \Downarrow }$

${\frac {T'(t)}{\nu T(t)}}=-k^{2}\,$

${\frac {Y''(y)}{Y(y)}}=-k^{2}\,$

現在變數已經分離。最後兩個方程是兩個可以獨立求解的常微分方程（事實上，Y 方程是一個特徵值問題），儘管它們都包含一個未知常數。注意，ν 保留用於 T 方程。這種選擇使求解略微容易一些，但同樣完全是任意的。

${\frac {T'(t)}{\nu T(t)}}=-k^{2}\,$

重新排列並注意，以下表達式中隱藏的概念是，一個函式等於它自身的導數，這有點像尤拉數的警鐘。

$T'(t)=-k^{2}\nu T(t)\,$

然後求解。

$T(t)=C_{1}e^{-k^{2}\nu t}\,$

這是一個從 Ted Woollett 的 'Maxima by Example' 第 3 章 '3.2.3 使用 desolve 的精確解' 中摘取的解。Maxima 的輸出沒有顯示，但應該很容易與所寫內容相符。

(%i1) de:(-%k^2*v*T(t))-('diff(T(t),t)) = 0;

(%i2) gsoln:desolve(de,T(t));

對於我們的右側也是如此。

${\frac {Y''(y)}{Y(y)}}=-k^{2}\,$

$Y''(y)=-k^{2}Y(y)\,$

並求解。

$Y(y)=C_{2}\cos(ky)+C_{3}\sin(ky)\,$

在 Maxima 中，解法如下。當 Maxima 要求“零”或“非零”時，輸入“非零；”

(%i1)de:(-%k^2*Y(y))-('diff(Y(y),y,2));

(%i2)atvalue('diff(Y(y),y), y=0, Y(0)*%k )$

(%i3)gsoln:desolve(de,Y(y));

總解將是 $u(y,t)$，仍然包含未知常數，目前是 Y 和 T 的乘積。因此，我們將 $Y(y)$ 和 $T(t)$ 的偏解代回

$u(y,t)=Y(y)T(t)=C_{1}e^{-k^{2}\nu t}(C_{2}\cos(ky)+C_{3}\sin(ky))$

$u(y,t)=e^{-k^{2}\nu t}(A\cos(ky)+B\sin(ky))$

注意，C₁ 已乘入 C₂ 和 C₃，減少了任意常數的數量。因為未知常數乘以未知常數仍然得到未知常數。

現在應該應用初始條件或邊界條件。如果首先應用初始條件，則係數將被等式化，並且所有常數將被確定。但是，邊界條件可能滿足也可能不滿足（在這種情況下它們將滿足，但你通常不會那麼幸運）。因此，為了安全起見，將首先應用邊界條件。

$u(0,t)=e^{-k^{2}\nu t}(A\cos(k\cdot 0)+B\sin(k\cdot 0))=0$

$A\cdot 1+B\cdot 0=0\Rightarrow A=0\qquad {\mbox{(no slip along lower boundary)}}\,$

因此，A 為零消除了 $\cos(k\cdot 0)$ 項。

$u(1,t)=e^{-k^{2}\nu t}B\sin(k\cdot 1)=0\,$

$B\sin(k\cdot 1)=0\Rightarrow B=0\quad {\mbox{or}}\quad k=n\pi \qquad {\mbox{(no slip along upper boundary)}}\,$

如果我們取B = 0，則該解將只是u(y, t) = 0（通常稱為平凡解），這將滿足 BC 和 PDE，但不可能滿足 IC。因此，我們取k = nπ，其中 n 是任何整數。在應用 BC 後，我們有

衰減流。

$u(y,t)=e^{-(n\pi )^{2}\nu t}B\sin(n\pi y)\,$

然後我們需要對其應用 IC。根據上面的 IC，$u(y,0)$ 是

$u(y,0)=\sin(\pi y)\,$

根據 BC，$u(y,0){\mbox{with t = 0}}$ 是，見上文。將這兩個$u(y,0)$ 的定義設為相等是

$e^{0}B\sin(n\pi y)=\sin(\pi y)\,$

由於根據 IC 假設，t = 0，因此$e^{-(n\pi )^{2}\nu t}$ 正在變為 $e^{0}$。只有當B = 1 且n = 1 時，該等式才能成立，這使得我們可以從其 BC 化身中的函式中簡單地移除這兩個常數。就是這樣！完整解是

$u(y,t)=e^{-\pi ^{2}\nu t}\sin(\pi y)\,$

值得驗證 IC、BC 和 PDE 是否都由此滿足。還要注意該解是 t 的函式和y 的函式的乘積。右側的圖形說明了這一點。觀察到該輪廓是在νt 的不同值下繪製的，而不是指定一些ν 並繪製t 的不同值。請記住，v 是運動粘度。因此，流動速度的衰減也取決於它。從解中看，t 和ν 只出現一次，並且它們在相乘，因此這樣做很自然。可以從一開始就引入無量綱時間。

那麼會發生什麼呢？流體從其初始狀態開始，呈指數衰減。注意，將 *x* 替換為 *y*，*t* 替換為 *νt* 後，這與引言中所示的熱量在棒材中的流動結果完全相同。這不是巧合：棒材的偏微分方程描述了熱量的擴散，平行板的偏微分方程描述了動量的擴散。

再看一眼分離常數 -*k*²。平方很方便，沒有它，*Y*(*y*) 的解將涉及平方根。如果沒有負號，解將涉及指數而不是正弦，因此常數將是虛數。

假設 *u*(*y*, *t*) = *Y*(*y*)*T*(*t*) 由問題的物理性質所證明：流體速度曲線保持其一般形狀（由 *Y*(*y*) 決定），只是隨著流體速度減慢（由 *T*(*t*) 決定），曲線會隨著時間的推移而變得平坦。

快速回顧一下我們做了什麼。首先，我們從 Navier-Stokes 方程中提取了一個模型偏微分方程，並透過假設壓力被移除而將其簡化。然後，我們透過分離 *Y* 和 *T* 對其進行了初步求解。最後，我們應用了邊界條件 (BC) 和初始條件 (IC)，得出了最終解。