工程師和科學家高等數學/封頁

符號表

ODE	常微分方程
PDE	偏微分方程
BC	邊界條件
IVP	初值問題
BVP	邊值問題
IBVP	初邊值問題

常用運算元

運算元應用於標量 $u(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})$ 或向量場 $\mathbf {v} (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=(v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n})\,$.

符號	常用名稱和其他符號	描述和註釋	笛卡爾座標系下的定義
${\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}$	偏導數， $u_{x_{i}},\ \partial _{x_{i}}u\,$	關於 $x_{i}$ 的 $u$ 的變化率，保持其他自變數不變。	$\lim _{\Delta x_{i}\to 0}{\frac {u(x_{1},\cdots ,x_{i}+\Delta x_{i},\cdots ,x_{n})-u}{\Delta x_{i}}}$
${\frac {du}{dx_{i}}}$	導數，全導數， ${\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x_{i}}}\,$	相對於 $x_{i}$ 的 $u$ 的變化率。 如果 $u$ 是多元的，這個導數通常會沿著一條路徑依賴於其他變數。	${\frac {\partial u}{\partial x_{1}}}{\frac {dx_{1}}{dx_{i}}}+\cdots +{\frac {\partial u}{\partial x_{n}}}{\frac {dx_{n}}{dx_{i}}}$
$\nabla u$	梯度，del 運算元，$\mathrm {grad} \ u\,$	描述多變數函式最大變化率的方向和大小的向量。 符號 $\nabla$ 稱為 nabla。	$\left({\frac {\partial u}{\partial x_{1}}},\cdots ,{\frac {\partial u}{\partial x_{n}}}\right)$
$\nabla ^{2}u$	拉普拉斯運算元，標量拉普拉斯運算元，拉普拉斯運算元，$\Delta u,\ (\nabla \cdot \nabla )u\,$	衡量 $u$ 的凹度，等效地比較某點 $u$ 的值與相鄰值。	${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{n}^{2}}}$
$\nabla \cdot \mathbf {v}$	散度，$\mathrm {div} \ \mathbf {v} \,$	衡量“生成”，換句話說，向量場在某一點上作為源或匯的作用有多強。	${\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{1}}}+\cdots +{\frac {\partial v_{n}}{\partial x_{n}}}$
$\nabla \times \mathbf {v}$	旋度，旋渦，環量密度，$\mathrm {curl} \ \mathbf {v} ,\ \mathrm {rot} \ \mathbf {v} \,$	描述（通常是三維的）向量場的旋轉速率和相應的旋轉軸的向量。	$\left({\frac {\partial v_{3}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{3}}},{\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{3}}}-{\frac {\partial v_{3}}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{2}}}\right)$
$\nabla ^{2}\mathbf {v}$	向量拉普拉斯運算元	類似於（標量）拉普拉斯運算元。但是，請注意，它通常 *不* 等於向量的逐元素拉普拉斯運算元。	$\nabla (\nabla \cdot \mathbf {\mathbf {v} } )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {\mathbf {v} } )$

三維運算元在不同座標系下的表示

上表中列出了笛卡爾座標表示。對於球座標，採用的是 $(r,\theta ,\phi )=(\mathrm {distance,azimuth,colatitude} )$ 約定。

運算元	柱座標	球座標
$\nabla u$	$\left({\frac {\partial u}{\partial r}},{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial \theta }},{\frac {\partial u}{\partial z}}\right)\,$	$\left({\frac {\partial u}{\partial r}},{\frac {1}{r\sin(\phi )}}{\frac {\partial u}{\partial \theta }},{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial \phi }}\right)\,$
$\nabla ^{2}u$	${\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\,}$	${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin(\phi )}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}\sin(\phi )}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\left(\sin(\phi ){\frac {\partial u}{\partial \phi }}\right)\,$
$\nabla \cdot \mathbf {v}$	${\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(rv_{r}\right)+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\,$	${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}v_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin(\phi )}}{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {1}{r\sin(\phi )}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\left(\sin(\phi )v_{\phi }\right)\,$