高階微觀經濟學/不確定條件下的決策

不確定條件下的決策

彩票

一個簡單彩票是一個元組 $(p_{1},\dots ,p_{N})$ 將機率分配給 N 個結果，使得 $\sum _{n=1}^{N}p_{k}=1$.

一個複合彩票將機率 $(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{K})$ 分配給一個或多個簡單彩票 $L_{1},\dots ,L_{K}$

一個簡化彩票可以針對任何複合彩票計算，從而產生一個結果等效（對結果產生相同的機率分佈）的簡單彩票，與原始複合彩票等效。

考慮一個對彩票 $L_{1},\dots ,L_{K}$ 的複合彩票，它們都將機率 $p_{1},\dots ,p_{N}$ 分配給 N 個結果。複合彩票意味著對 N 個結果的機率分佈，對於任何結果 n，可以計算為 $\sum _{k=1}^{K}\alpha _{k}\cdot p_{n}^{k}$
換句話說，複合彩票所隱含的事件 n 的機率是每個彩票分配給事件 n 的機率，按每個彩票被選中的機率加權。

示例

考慮一個結果空間 $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$。一個（公平的）六面骰子複製了一個簡單彩票 $\left({\frac {1}{6}},{\frac {1}{6}},{\frac {1}{6}},{\frac {1}{6}},{\frac {1}{6}},{\frac {1}{6}},0,0,0,0\right)$
一個（公平的）十面骰子複製了簡單的彩票 $\left({\frac {1}{10}},{\frac {1}{10}},{\frac {1}{10}},{\frac {1}{10}},{\frac {1}{10}},{\frac {1}{10}},{\frac {1}{10}},{\frac {1}{10}},{\frac {1}{10}},{\frac {1}{10}}\right)$

現在想象一個人從一個已知包含九個六面骰子和一個十面骰子的甕中隨機抽取一個骰子。這種抽取代表了在結果空間上定義的複合彩票。任何結果的機率 $\in [1,6]={\frac {9}{10}}\cdot {\frac {1}{6}}+{\frac {1}{10}}\cdot {\frac {1}{10}}={\frac {16}{100}}$
而結果的機率 $\in [7,10]={\frac {9}{10}}\cdot 0+{\frac {1}{10}}\cdot {\frac {1}{10}}={\frac {1}{100}}$.
生成一個簡化的彩票，$\left({\frac {4}{25}},{\frac {4}{25}},{\frac {4}{25}},{\frac {4}{25}},{\frac {4}{25}},{\frac {4}{25}},{\frac {1}{100}},{\frac {1}{100}},{\frac {1}{100}},{\frac {1}{100}}\right)$

偏好和不確定的結果

令 $\mathbf {\mathcal {Z}}$表示一組可能的結果（消費組合、貨幣支付等），其複合彩票空間為 $\Delta \mathbf {\mathcal {Z}}$.