高階微觀經濟學/偏好關係

偏好關係

偏好關係為經典微觀經濟學建立理性選擇理論奠定了基礎。本節描述偏好關係及其性質。理性偏好方法研究人類決策過程，將偏好作為給定的，強加公理化假設來代表理性選擇。我們首先設想決策者面臨的一組相互排斥的選擇，X。二元關係 $\succeq$ 代表對X元素的偏好。用自然語言， $x\succsim y$ 可以讀作“x 至少和 y 一樣好”或“x 弱於 y”。

兩個有用的衍生關係是

嚴格偏好： $x\succ y\iff x\succsim y$ 且不 $y\succsim x$ .
$x\succ y$ 可以讀作“x 比 y 好”或“x 嚴格優於 y”。

無差異： $x\sim y\iff x\succsim y{\text{ and }}y\succsim x$ .
$x\sim y$ 可以讀作“x 和 y 無差異”。

理性偏好

偏好關係 $\succsim$ 在X 上被稱為理性，如果它既是完全的又是傳遞的。完全性要求所有對 $(x,y)$ 都可以進行比較。

完全性： $\forall (x,y)\in \mathbf {X}$ ，要麼 $x\succeq y,\quad y\succeq x$ ，要麼兩者兼有。

傳遞性強加了“一致性”要求，使X元素能夠進行排名或序數對映。例如，如果一位顧客嚴格偏好蘋果而不是橙子，並且偏好橙子而不是香蕉，那麼傳遞性假設要求他/她也偏好蘋果而不是香蕉。

傳遞性：對於所有選擇x、y 和 z，如果 $x\succeq y\land y\succeq z$ 那麼 $x\succeq z$

理性偏好的性質

$\succeq$ 是自反的 $\Leftrightarrow \forall x\in \mathbf {X} \,x\succeq x$ 。這是由完全性推匯出來的。
$\succ$ 是非自反的 $\Leftrightarrow x\succ x$ 永遠不成立
$\succ$ 是傳遞的 $\Leftrightarrow x\sim y\land y\sim z\Leftrightarrow z\sim z$
$\sim$ 是自反的。
$\sim$ 是傳遞的 $\Leftrightarrow x\succ y\succsim z\Leftrightarrow x\succ z$
$\sim$ 是對稱的 $\Leftrightarrow x\sim y\Rightarrow y\sim x$ .
如果 $x\succ y$ 並且 $y\succeq z$ 那麼 $x\succ z$ .

稍微思考一下就能發現理性假設的嚴重性。通俗地說，理性意味著個人完全瞭解並理解自己的偏好。在任何時候，決策者都能夠被要求採取行動，並且必須能夠提供對選擇集中所有元素的完整、一致的排序。然而，請注意，理性假設並未對偏好的主觀質量施加任何限制，並且該框架也沒有對決策者可用的資訊或計算能力施加任何要求。簡而言之，偏好的主觀性在理性假設下依然存在。

關於偏好的額外假設

許多假設經常有助於形式化分析。以下部分列表作為參考。

期望假設

單調性：關係 $\succsim$ 如果 $x\in \mathbf {X} \land y\geq x\Rightarrow y\succsim x$ 是（弱）單調的，如果 $x\geq y\land y\neq x\Rightarrow y\sim x$ 是強單調的。
單調性假設大致可以翻譯為“越多越好”。雖然在某些情況下很明顯，但包括汙染等經濟“壞事”的選擇集可能會違反單調性。
區域性非飽和： $\succsim$ 當 $\forall x\in \mathbf {X} ,\;\forall \varepsilon >0\;\exists y\in \mathbf {X} {\mbox{ such that }}|y-x|\leq \varepsilon \land \;y\sim x$ 時為非飽和。注意單調性，即“更多總比更好，即使只是無窮小的偏差”，意味著區域性非飽和，但反過來不成立。非飽和假設在下面關於無差異集和無差異曲線的討論中起著關鍵作用。

凸性

$\succsim$ 在 X 上是凸的，如果 $\forall x\in \mathbf {X} {\mbox{ the upper contour }}y\in \mathbf {X} :y\succsim x{\mbox{ is convex; if}}y\succsim x\land z\succsim x,\;(\alpha y+(1-\alpha )z)\succsim x\forall \alpha \in [0,1]$
凸性偏好意味著邊際替代率遞減。對於任何兩種商品，需要越來越多的商品來補償另一種商品的邊際損失。
凸性偏好可以解釋為對消費多樣化的渴望。

同質偏好

如果所有無差異集都透過沿射線的比例擴充套件而相關，則偏好被稱為同質偏好， $x\sim y,\;\alpha x\sim \alpha y\;\forall \alpha \geq 0$

擬線性偏好

$\succsim {\mbox{ on }}\mathbf {X}$ 相對於其計價貨幣是擬線性的，如果

無差異集沿著商品 1 的軸線平行移動；
$x\sim y\Rightarrow (x+\alpha e_{1})\sim (y+\alpha e_{1}),{\mbox{ where }}e_{1}=(1,0,\dots ,0){\mbox{ and }}\alpha \in \mathbb {R}$
計價貨幣是可取的，