高階微觀經濟學/生產

生產集的性質

生產向量 $Y=(y_{1},y_{2},\ldots y_{n})$ 其中 $y_{i}>0$ 代表產出，而 $y_{i}<0$ 代表投入

• Y 不為空
• Y 是封閉的（包括其邊界）
• 沒有免費午餐 - $y\geq 0\rightarrow Y=0$（沒有投入，沒有產出）
• 不作為的可能性 $(0\in Y)$
• 自由處置
• 不可逆性 - 不能將產出轉化為投入
• 規模報酬
  • 非遞增：$\forall y\in Y,\,\alpha y\in Y\forall \alpha \in [0,1]$
  • 非遞減：$\forall y\in Y,\,\alpha y\in Y\forall \alpha >1$
  • 常數：$\forall y\in Y,\,\alpha y\in Y\forall \alpha \geq 0$
• 可加性：$y\in Y{\mbox{ and }}{y}^{\prime }\in Y\rightarrow y+{y}^{\prime }\in Y$
• 凸性：$y,{y}^{\prime }\in Y{\mbox{ and }}a\in [0,1]\rightarrow ay+(1-a){y}^{\prime }\in Y$

利潤最大化

示例

${\begin{aligned}\max &\;p_{2}y_{2}-p_{1}y_{1}\\{\mbox{s.t. }}&[y_{1},y_{2}]\in Y\\&f(y_{1},y_{2})\leq k\\{\mathcal {L}}(y_{1},y_{2},\lambda )&=p_{2}y_{2}-p_{1}y_{1}+\lambda [k-f(y_{1},y_{2})]\\{\mathcal {L}}_{1}&=-p_{1}-\lambda f_{1}=0\\{\mathcal {L}}_{2}&=p_{1}-\lambda f_{2}=0\\{\mathcal {L}}_{\lambda }&=k-f(y_{1},y_{2})=0\\\end{aligned}}$

單一產出

$y=f(Z)$ 其中 $Z=(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})$
${\begin{aligned}&\max _{y,Z}py-w\\{\mbox{subject to }}&y=f(z)\\&{\mbox{ -or- }}\\&\max _{Z}pf(Z)-wZ\\{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial z_{i}}}&=pf_{i}-w_{i}\leq 0\\\end{aligned}}$

邊際收益產品

邊際收益產品是產出價格乘以投入的邊際產量 $MRP=p\cdot f_{i}$
利潤最大化的最優條件要求邊際收益產品等於生產中使用的所有投入的成本（實際）
$pf_{i}=w_{i}\;\forall z_{i}>0$

邊際技術替代率

${\begin{aligned}pf_{1}&=w_{1}\\pf_{2}&=w_{2}\\&\rightarrow {\frac {f_{1}}{f_{2}}}={\frac {w_{1}}{w_{2}}}f(z_{1},z_{2})&={\bar {y}}\\f_{1}dz_{1}&+f_{2}dz_{2}=0\\{\frac {dz_{2}}{dz_{1}}}&=-{\frac {f_{1}}{f_{2}}}\end{aligned}}$

利潤函式和供給的性質

• 利潤函式表現出 1 次齊次性 $\pi =pf(z)-w{z}$ 所有價格翻倍會使名義利潤翻倍
• 供給函式表現出 0 次齊次性

成本最小化

最佳 CMP 給出成本函式 <align>\funcd{c}{w,q}</align>

示例

${\begin{aligned}\min _{z_{1},z_{2}}&\,w_{1}z_{1}+w_{2}z_{2}{\mbox{ s.t. }}f(z_{1},z_{2})\leq q\\{\mathcal {L}}(z_{1},z_{2},\lambda )&=w_{1}z_{1}+w_{2}z_{2}-\lambda [f(z_{1},z_{2})-q]\\{\mathcal {L}}_{1}&=w_{1}-\lambda f_{1}=0\\{\mathcal {L}}_{2}&=w_{2}-\lambda f_{2}=0\\{\mathcal {L}}_{\lambda }&=f(z_{1},z_{2})-q=0\\\end{aligned}}$

${\frac {w_{1}}{w_{2}}}={\frac {f_{1}}{f_{2}}}\;{\frac {mp_{1}}{mp_{2}}}$ 投入品價格比率等於邊際產量比率

${\frac {w_{1}}{f_{1}}}={\frac {w_{2}}{f_{2}}}$ 透過 $z_1$ 擴充套件的邊際成本等於透過 $z_{2}$ 擴充套件的邊際成本

${\begin{aligned}{C}(w_{1},w_{2},q)&=w_{1}z_{1}^{*}+w_{2}z_{2}^{*}\\&=w_{1}z_{1}^{*}+w_{2}z_{2}^{*}-\lambda [f(z_{1}^{*},z_{2}^{*})-q]\\{\frac {\partial C}{\partial w_{1}}}&=z_{1}^{*}\\{\frac {\partial C}{\partial w_{2}}}&=z_{2}^{*}\\{\frac {\partial C}{\partial q}}&=\lambda {\mbox{- marginal cost}}\\\end{aligned}}$

CMP 的解給出要素需求，$z_{i}^{*}=z_{i}({w},q)$ 以及成本函式 $\sum w_{i}z_{i}=c(w,q)$

成本函式

• $P>ATC$ 產生正的經濟利潤，短期和長期
• 在短期，固定成本無關緊要。如果 $p<AVC$，則停產
• 最低有效規模：$mc=ATC=P$

在長期，由於任何 $P>ATC$ 公司都會進入，沒有經濟利潤。在長期，$\pi \to 0$，直到 $p=ATC\rightarrow \pi =0$