高階微觀經濟學/效用函式

效用函式

對選擇的正式分析依賴於一種被稱為效用的福祉概念。這個概念提供了一個實值空間，其中選擇集中的每個成員對應於一個數值。從選擇集X到實數線的對映被稱為效用函式。

效用函式：一個函式$u:X\rightarrow \mathbb {R}$是表示偏好關係$\succeq$的效用函式，如果
$\forall x,y\in \mathbf {X} ,\quad u(x)\geq u(y)\iff x\succsim y$.

效用函式在經濟學中發揮著基礎作用。然而，在經濟學中使用時，效用概念在現實世界中沒有可衡量的對應物。效用函式提供選擇的序數排名，因此分配給每個效用水平的數值是完全任意的。
為了闡明，考慮一組可能的選擇$\mathbf {X} ={x,y,z}$，其偏好為${x\succ y,y\succ z,x\succ z}$。現在考慮兩個候選效用函式
$u_{1}(c)={\begin{cases}100&{\mbox{if }}c=x\\50&{\mbox{if }}c=y\\10&{\mbox{if }}c=z\\\end{cases}}u_{2}(c)={\begin{cases}3&{\mbox{if }}c=x\\2&{\mbox{if }}c=y\\1&{\mbox{if }}c=z\\\end{cases}}$

注意，函式$u_{1}(c),\quad u_{2}(c)$都提供了對在選擇集中定義的偏好的有效表示。然而，效用的心理狀態解釋可能會對這兩個函式有不同的解釋。使用一些粗略的“幸福”或“滿足”的概念，$u_{1}$表明選擇x使我們的決策者“高興一倍”相比選擇y，而這種解釋$u_{2}(c)$不支援。事實上，$u_{1},\quad g(u_{1}(c))$的任何單調變換都代表了原始的偏好關係，但可能（通常不會）保留效用水平之間的基數關係。因此，將心理解釋附加到效用創造了在底層偏好關係中不存在的資訊。

效用函式的性質

1. 單調性：效用函式表現出弱單調性當且僅當$x\geq y\Rightarrow x\succsim y$，表現出強單調性當且僅當$x\geq y\land x\neq y\Rightarrow x\succ y$