航空聲學/波動方程和格林函式

我們將在後面說明，聲波（小幅度波動）在流體中的傳播基本上受著名的波動方程控制。因此，在本章中，我們將回顧波動方程的一些數學方面，這將有助於我們理解後面章節中的物理學。**必須注意，我們認為波傳播發生在三維空間中，除非另有說明。**

波動方程

波動方程是最簡單的線性雙曲型偏微分方程 [1]，它控制著波在介質中以有限速度的線性傳播。考慮p(x,t)是物理量（如壓力擾動），它在空間中作為線性波傳播。形式上，波動方程可以寫成

${\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}\nabla ^{2}p=0\,,$

其中 $c_{0}$ 是波傳播的速度。這是控制著波在靜止介質中傳播的齊次波動方程。如果場中存在一個或多個產生波的源，則波動方程將採用非齊次形式

${\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}\nabla ^{2}p=f(x,t)\,,$

其中f(x,t)表示源的存在。要解決類似上述的非齊次偏微分方程，我們需要使用一種稱為**格林函式**的數學工具。

格林函式

格林函式 [2] 以英國數學家喬治·格林 [3] 的名字命名，他首次在 19 世紀 30 年代提出了這個概念。格林函式的概念是解決邊界值問題最強大的數學工具之一。

假設我們有一個由下式給出的線性微分方程

$L\,u=f,$

其中L 是微分運算元。主要思想是找到一個稱為格林函式的函式G，使得上述微分方程的解可以從下式確定

$u(x)=\int G(x,s)f(s)ds$

為了找到給定微分方程的適當格林函式，應該求解

$L\,G(x,s)=\delta (x-s)$

與原始問題的邊界條件相同。例如，波動方程的自由空間格林函式是波動方程的解，其中包含一個脈衝點源 $\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} )\delta (t-\tau )$（位於點 $\mathbf {y}$ 並在時間 $\tau$ 產生脈衝）。因此，

$\Box ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,t,\tau )=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} )\delta (t-\tau )$

其中

$\Box ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial \,t^{2}}}-c_{0}^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \,x^{2}}}$.

上述方程的解是

$G(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,t,\tau )={\frac {1}{4\pi \,r}}\delta \left(t-\tau -{\frac {r}{c_{0}}}\right)$

其中

$r=|\mathbf {x} -\mathbf {y} |$

上述關係代表一個從源 $\mathbf {y}$ 擴充套件的衝量球對稱波。還需要提及的是，δ函式的自變數，

$\tau +{\frac {r}{c_{0}}}$

被稱為延遲時間，等於由源 $\mathbf {y}$ 在時間 $\mathbf {\tau }$ 生成的波到達點 $\mathbf {x}$ 所需的時間，在時間 $\mathbf {t}$.

因此，如果我們有一個通用問題（比如湍流射流產生的噪聲），它受

$\Box ^{2}p=Q(x,t)$

控制，那麼空間中任意一點的瞬時解為

$p(x,t)={\frac {1}{4\pi }}\int \int _{-\infty }^{\infty }Q(\mathbf {y} ,\tau )G(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,t,\tau )d^{3}\,\mathbf {y} d\tau$

在自由空間輻射的情況下，

$p(x,t)={\frac {1}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int {\frac {Q(\mathbf {y} ,\tau )}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\delta \left(t-\tau -{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}{c_{0}}}\right)d^{3}\,\mathbf {y} d\tau ={\frac {1}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {Q(\mathbf {y} ,t-|\mathbf {x} -\mathbf {y} |/c_{0})}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}d^{3}\,\mathbf {y}$

參考資料

• M. S. Howe, "Theory of Vortex Sound," Cambridge Texts in Applied Mathematics 2003.