代數/第 0 章/什麼是數學？
0.1: 什麼是數學？
在全世界各地的學校裡教授的所有科目中，數學可能是最令人恐懼和厭惡的科目。
那麼，首先，什麼是數學？是什麼讓它與其他學習領域（如語言或歷史）如此不同？更重要的是，為什麼你一定要了解它？
數學是一個非常廣泛的學科。定義它將非常困難。
數學是對模式的研究——尋找模式並解釋為什麼存在這些模式。模式無處不在：形狀（這個的面積是多少？那個的體積是多少？）、計數（有多少種方法可以做到這一點？有多少是那個？），等等。
一個特別有趣的模式類別是數字模式。例如，整數看起來很簡單，但它們並非如此：1、2、3...... 每個人都知道它們是什麼，每個人都熟悉它們的加法和乘法。但其中隱藏著微妙而深刻的模式。例如，我們可以看看重複加 2 時形成的數字。2、4、6、8...... 我們可以看看重複加 3 時形成的數字：3、6、9、12...... 很容易看出每個數字都至少落在這些序列中的一個，但它落入多少個，以及哪些？例如，12 在序列 2、4、6、8、10、12...... 中；3、6、9、12......；4、8、12......；6、12...... 以及 12...... 哪些數字只落入一個序列？這些數字有一個特殊的名稱，素數，因為它們只能被 1 和它們本身整除。尋找素數是一個非常棘手的問題，它構成了保護您網際網路隱私的機制。前幾個素數是 2、3、5、7、11、13、17、19、23 和 29。有多少個？ 3 和 5 相差 2，5 和 7 也是，11 和 13 也是，17 和 19 也是。有多少對像這樣？
關於這些簡單的序列，有各種各樣的問題可以問，其中一些問題導致了關於數字結構的非常深刻的陳述。
但是為什麼會有這樣的模式？為什麼一定是存在無限多個素數？可以想象這串數字可能就停止了，也許在數十億甚至數十億個素數之後，也許它們的數量如此之多，以至於人們永遠無法計算出所有素數——但為什麼這是不可能的？為什麼如果你想象的話，那麼如果你非常有想象力，你會發現這是荒謬的？
問關於純粹模式的問題是數學，以及回答為什麼它必須是那樣。
數學是一種提出猜想和定理的藝術——關於模式的猜測。它關於解釋畫素數這樣的模式（有多少個？）。有非常多的猜想和定理，特別是在幾何學中。
猜想和定理在數學中很重要。它們說明了什麼可以做什麼，什麼不能做什麼。這些都是發現，是由那些觀察模式並找到關於它們的規則的人做出的。例如，我們乘以 2 時形成的數字稱為偶數。關於它們有特殊的規則。例如，如果你將任何兩個偶數加在一起，你就會得到另一個偶數。這就是所謂的定理。它是一個關於模式的發現。
數學是邏輯研究——證明猜想。它關於證明猜想和定理為什麼是正確的。
這在幾何學中很重要。事實上，許多數學家想要證明許多事情，即使到了今天。關於模式有許多猜想仍然沒有被證明。
現在，你為什麼想知道它？簡單地說，因為它很有趣，因為它很有趣。
要給一個像數學一樣廣泛的學科給出確切的定義並不容易。它不僅是數字的研究，而是將我們所知道的，認識模式，並將所有這些組織成我們可以使用和理解的東西。在數學的歷史上，人們對數字的組織方式有很多種，現在最常見的方式是十進位制系統，但即使在今天，我們仍然使用幾種其他的系統。當人類還只是遊牧民族時，不需要數字，部落中的人數很少，你只需要擔心食物和日常生活。當我們開始定居下來，建立營地、城鎮，最終建立城市和帝國時，我們需要新的方式來談論數字。羊群裡有幾隻羊？部落裡住著多少人？到下一個城鎮有多遠？我們需要數字來描述所有這些事情，以便能夠交流和理解他人的意思。有無數的事情可以用數字和數量來描述，以理解它們的意義。
數學很大一部分是發現。在我們定義了數字以及如何測量長度之後，數學就無處不在，只是等待著被揭示。矩形的面積一直都是長乘以寬()，但直到我們有數字來定義我們的長度和寬度，它才無法被發現。體積、素數和倍數都是數學的一部分，只是等待著被發現。現在的發現理解起來要複雜得多，但它們仍然存在。
數學研究通常會將我們帶到一個無法繼續前進的點，除非我們進行一些創造。虛數，你將在本書後面的章節中學習，就是一個例子，我們必須創造一些東西來讓數學運作。現實世界中不存在虛數，但它們必須存在才能解釋我們物質世界中發生的一些現象。我們發明了它們，以使數學能夠解釋我們觀察到的模式。
數學是我們發現一些抽象思想的地方。數字與字母不同；字母發出聲音，當我們把它們放在一起時，它們就形成了一個代表名詞、動詞或其他詞性的單詞。每個數字都代表一個不同的數量，更令人困惑的是，兩個 3 不等於 6，而是 33。很容易看出，你左手上的 3 根手指和右手上的 4 根手指合起來是 7，這就是為什麼你經常會看到小學生以這種方式加減的原因。即使我們越來越習慣於加減法，一些簡單的計算，比如 1 到 9 之間的數字相加，通常是透過記憶來完成的，而不是在我們腦海中想象 5 個東西加上 8 個東西，我們記住了 8 + 5 = 13。為了讓你更相信數字是抽象的，請用單詞來定義字母 B。現在嘗試用不帶數字的定義來定義數字 6。