代數/第一章/習題

與第一章概念相關的習題集。

此集合包含 71 個習題（包括概念性問題）。

概念性問題

Q1.1 (外星社會) 想象一下，你遇到了一位來自遙遠星球的外星人，他們的所有公民都精通英語，並且每隻手上有三個手指。雖然這個文明很聰明，但他們從未學習過什麼是“計數”或如何計數。除此之外，他們也從未學習過什麼是“數字”，它們叫什麼名字，以及它們是什麼樣子。想想如何教導這位外星人關於計數和數字的知識，以便他們可以回到自己的星球，將這些知識傳授給他們的族人。你可能會使用什麼工具來解釋這個概念？你想要傳達哪些概念？這項任務中可能會遇到哪些困難？

Q1.2 (什麼是數字？) 用你自己的話定義什麼是“數字”。用你自己的話定義什麼是“數碼”。

Q1.3 (零的符號) 數字零是正數、負數還是既不是正數也不是負數？解釋你的理由。

Q1.4 (小數的差) “十”和“十分之一”之間有什麼區別？

Q1.5 (完美的圖片) 假設數軸真的存在於現實中。如果你退得足夠遠，你能拍攝到整個數軸的照片嗎？

Q1.6 (解釋數字的寫法) 用你自己的話解釋如何寫數字，包括用文字形式和用數字符號形式。

Q1.7 (可能的最大數字) 使用數字 0、8 和 4，你能寫出最大的和最小的三位數是什麼？每個數字只能使用一次，並解釋你是如何得出結果的。如果你將這些數字寫在小數點右邊，你能得到最大的數字是多少。

Q1.8 (一百萬) 一百萬是一千個一千。解釋為什麼是這樣。

Q1.9 (讀錯了) 解釋將“50,002”讀作“五萬零二”有什麼錯誤。解釋將“2.203”讀作“二點二零三”有什麼錯誤。

Q1.11 (數字聯想) 每個單詞對應什麼整數？

1. 零
2. 雙人
3. 十年
4. 一對
5. 無
6. 三人組
7. 八十
8. 世紀

Q1.12 (分數問題) 為什麼我們不能說下圖中 3/5 被塗上了陰影？

圖片：300 畫素

Q1.13 (大數字) 判斷以下說法是否正確：“一個數字的位數越多，它就越大”。

Q1.14 (符號) 一家快餐店的選單上列出漢堡的價格為 0.99 美分。解釋這裡有什麼錯誤。

Q1.15 (數軸上的運算) 確定每個圖中所代表的運算。

Q1.16 (逆運算) “我今天穿上了鞋，走出家門”的逆運算是什麼？

1.17 (小數運算) 解釋小數加法如何與整數加法類似，它們又有哪些不同？對小數乘法做同樣的解釋。

Q1.18 (1 的冪) 求 $1^{2}$ 、 $1^{3}$ 和 $1^{4}$ 。你能對 1 的任何冪做出什麼假設？

Q1.19 (零) 寫出數字 $10^{1000}$ 需要多少個零？

Q1.20 (運算順序的步驟) 用你自己的話解釋運算順序的四個步驟。

Q1.21 (運算順序的步驟 II) 運算順序是否表明你應該先執行加法再執行減法？它是否表明你應該先執行乘法再執行除法？解釋你對這兩個問題的理由。

Q1.22 (第一步) 確定評估以下表達式時要採取的第一步。解釋你的理由。

1. $15-3*4$
2. $13+(20/5)*2$
3. $8+2(10-4)$

Q1.23 (病毒式數學表示式) 以下看似簡單的表示式讓網際網路上許多人感到困惑。有些人會爭辯說答案是 9，而另一些人會爭辯說答案是 1。但是，表示式的寫法存在一個根本問題，導致了這兩個不同的答案，你能找出是什麼問題嗎？

6/2(1+2)

Q1.24 (列出素數和合數)

1. 列出前 10 個素數。
2. 列出前 10 個合數。

Q1.25 (素數還是合數？) 判斷以下數字是素數、合數還是既不是素數也不是合數。

Q1.26 (無限小數展開) 假設分數的分子是 142。為了使分數的小數展開是有限的，分母應該是多少？為了使分數的小數展開是無限的，分母應該是多少？

習題

1.1 節

1.1 (定位數字) 畫一條數軸，然後確定以下值可能在數軸上的什麼位置。

{\frac {3}{11}},0,0.0001,5,{\frac {1}{4}},-2.3

1.2（比較數字） 對於每組給定的數字，確定哪一個更大。

1. 4, 100
2. 9, 9.0001
3. -7, -2
4. -5, 0
5. 100, 100

1.3（稱重公牛鯊） 一位生物學家正在研究公牛鯊種群。她記錄了她捕獲的四條鯊魚的重量（單位：磅）。將這些公牛鯊按從輕到重的順序排列。

公牛鯊重量
鯊魚	重量
鯊魚 1	130.5 千克
鯊魚 2	213.2 千克
鯊魚 3	97.7 千克
鯊魚 4	97.1 千克

1.4（位值） 找出下列每個數字中 5 的位值。

1. 5,000,000
2. 0.5
3. 105
4. 3572896
5. 123,456,789
6. 0.000005
7. 8051
8. 85,931
9. 800,026

1.5（寫數字） 將以下內容翻譯成數學符號

1. 十一
2. 兩百七十
3.
4.
5.
6.

1.6（用文字寫數字） 將以下數字用文字寫出來

1. 9
2. 10
3. 274
4. 8,322
5. 1,000,000,009
6. 1,343,234,985
7. 0.01

1.7（數字的展開形式） 在數字 7,893 中，有“7 個千位”、“8 個百位”、“9 個十位”和“3 個個位”。因此，我們將數字以以下方式寫出時，我們說它是**展開形式**

7 個千位 + 8 個百位 + 9 個十位 + 3 個個位
或者
7000 + 800 + 9 + 3

將以下數字寫成展開形式

1. 473
2. 6852
3. 73,016
4. 570,003
5. 3,519,803
6. 48,000,061
7. 37.89
8. 124.575
9. 7496.5467
10. 6.40941

1.8（分數圖） 寫一個分數來描述下面圖表中陰影部分所佔的比例。寫一個分數來描述圖表中未被陰影部分所佔的比例。

1.9（水果籃） 一個水果籃裡有 5 個芒果、7 個蘋果、12 個橙子和 20 個石榴。
1. 籃子裡有多少比例的水果是蘋果？
2. 籃子裡有多少比例的水果**不是**橙子？
3. 籃子裡有多少比例的水果是橙子或石榴？

第 1.2 節

1.10（用 8 湊成 1000） 八個數字“8”寫在一起，如下所示，並在其間插入加號“+”以得到總和 1000。加號是在哪裡插入的？

8\ \ \ 8\ \ \ 8\ \ \ 8\ \ \ 8\ \ \ 8\ \ \ 8\ \ \ 8

1.11（未知的總和） 在下面的加法問題中，A、B 和 C 代表三個不同的數字。這些數字是什麼？

{\begin{array}{r}AAA\\+\ BBB\\\hline AAAC\end{array}}

1.12（未知的乘積） 一個六位數，其最左邊的數字是 1，當我們將 1 放到數字末尾時，這個數字會變為原來的三倍。這個數字是多少？

1.13（分數和小數） 使用長除法求出每個分數的小數展開式。

1. ${\frac {27}{100}}$	2. ${\frac {1}{11}}$	3. ${\frac {142}{4}}$	4. ${\frac {2}{11}}$
5. ${\frac {14}{13}}$	6. ${\frac {7000}{9}}$	7. ${\frac {2}{11}}$	8. ${\frac {6555555}{3}}$

1.14（有限小數和迴圈小數） 您可能已經注意到**問題 1.13** 中，當您將分數轉換為小數時，您有時會得到所謂的**迴圈小數**。例如，分數 ${\frac {3}{11}}$ 。

{\frac {3}{11}}=0.272727272727...

的十進位制形式 ${\frac {3}{11}}$ 由兩個數字2和7組成一個無限迴圈的序列。為了簡化，我們用0.27來表示它，而不是寫上面的表示式。

1. 使用這種帶橫線的記法來寫問題1.13中的每一個迴圈小數。
2. 我們看到，在上面的分數中，小數部分在兩位數後開始迴圈。我們說這個數的週期為2。同樣，我們說數 ${\frac {1}{7}}$ 的週期為6，因為這個數在6位數後開始迴圈。從下面的數中，哪一個的週期最大？

1.15 (分享披薩) 比利一家訂了一份大披薩。他的爸爸吃了 ${\frac {1}{6}}$ ，他的媽媽吃了剩下的 ${\frac {1}{5}}$ 。後來，比利的姐姐吃了一些披薩，然後比利吃了剩下的披薩，正好是他們一開始的一半（比利是個大塊頭）。姐姐吃了他們父母剩下的多少披薩？

1.16 (郵票收藏) 右邊的圖顯示了郵票，排列成四組，每組四枚。這張圖裡有多少枚郵票？雖然你可以一個個地數，但有一種更快的方法來得到總數。

1.17 (一個和與一個差) 兩個數的和是104，它們的差是32。較大的數的值是多少？

1.18 (在艾莉森的街道上) 艾莉森的家在同一條街上，有圖書館、郵局和超市，如下圖所示。艾莉森的家到這三個建築物的距離各不相同。根據這些資訊，艾莉森的家位於哪個點？

第1.3節

1.19 (小數運算) 簡化以下包含小數的表示式。

1.20 (分數運算) 簡化以下包含分數的表示式。

第1.4節

1.21 (指數形式) 將以下內容寫成指數形式。

1. 8 * 8 * 8 * 8
2. 16 * 16 * 16
3. 7 * 7 * 7 * 7 * 7
4. 24 * 24 * 24
5. 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2

1.22 (指數表示式) 計算以下指數的值。

1.23 (銀行賬戶) 尼克在第一天存入銀行賬戶2美元，第二天存入4美元，第三天存入8美元。他將繼續每天將存款翻倍。他在第十天將存入多少美元？

第1.5節

1.24 (使用運算順序) 使用運算順序來簡化以下表達式。
1. $2+6-7$
2. $6+10*2$
3. $12$ ÷ $4*6$
4. $12*4$ ÷ $6$
5. $10+3^{2}$
6. $11-2^{2}$
7. $(10-3)^{2}$
8. ${\sqrt {(}}15-6)$
9. $(-2)^{2}(3)^{3}$
10. $4*2^{3}-11$
11. $36$ ÷ $2$ ÷ $6$
12. $18+36$ ÷ $4*3$
13. ${\frac {(12-5)^{2}+2^{3}}{3(13-6)-(8+7)}}$
14. $(12-9)^{3}+420$ ÷ $[3*5+(19-13)]$
15. $4$ { $18-[(10-8)+2^{3}]$ } $-$ { $[485-168+392]+45-24*16$ } ÷ $8$

1.25 (找出錯誤) 找出以下每個表示式中的錯誤，然後解釋如何正確解決表示式。

第 1.6 節

1.26 (質因數分解) 找出以下數字的質因數分解。1. 693

1.27 (使用可除性規則) 使用可除性測試找出以下商的餘數。

1.28 (帶分數) 將以下假分數寫成帶分數。

第 1.7 節

第 1.8 節

第 1.9 節

第 1.10 節

1.29 (集中趨勢和離散程度的度量) 找出以下資料集的平均數、中位數、眾數和極差。

第 1.11 節

推理與應用

1.30 （計算 24 分之 1） 不進行除法， ${\frac {1}{24}}$ 在 ${\frac {2}{3}}?$ 中有多少個？

1.31 （負負負負……）

1. $-(-(-2))$ 等於多少？
2. $-(-(-(-2)))$ 等於多少？
3. 如果在 2 前面有 20 個減號，會怎麼樣？
4. 如果在 2 前面有 75 個減號，會怎麼樣？

1.32 （使用條形圖） 檢視下面的圖表，並使用它回答以下問題。

1.33 （使用多重條形圖） 檢視下面的圖表，並使用它回答以下問題。

1.34 （使用折線圖） 檢視下面的圖表，並使用它回答以下問題。

1.35 （建立條形圖） 檢視下面的表格，並使用它建立一個條形圖。

1.36 （讀取儀表） 家庭中用電量以千瓦時為單位。確定下面顯示的儀表的讀數。（當指標位於兩個數字之間時，使用較小的數字）。

1.37 （高空） 下表顯示了每種雲型別的飛行高度。將這些數字繪製在下面的垂直數軸上。

1.38 （尺子） 檢視下面的尺子圖。

1. 從 0 到 1 之間有多少個刻度？
2. 箭頭指向哪個數字？

1.39 （頁碼） 一本包含 450 頁的書，需要多少個數字才能給所有頁面編號？

1.40 （帶迴圈小數的運算） 計算

1. 0.55555... + 0.66666...
2. 0.99999... + 0.11111...
3. 1.11111... - 0.22222...
4. 0.33333... * 0.66666...
5. 1.22222... * 0.81818...

挑戰問題

1.41 （從 12 中取數字） 使用從 0 到 9 的數字各一次，可以寫出最大的 12 的倍數是多少？

1.42 （從 1 到 10） 為了讓你思考這個問題，嘗試這個簡單的數學遊戲

將 1 到 10 的數字放在等式的左側，併為右側選擇一個數字。

例如：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 = 1

現在在這些數字之間新增運算子。只有在必要時使用括號。

例如：1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 + 7 + 8 - 9 - 10 = 1

1. 更改等式右側的數字。你能生成此數字的表示式嗎？如果不能，你能證明為什麼不能嗎？
2. 如果你改變數字的順序，結果會改變嗎？

1.43 （差分方塊） 畫一個正方形。在這個正方形的每個角上，寫下數字 7、5、9 和 2。現在，在第一個正方形周圍畫一個第二個正方形，使其穿過較小正方形的四個角。在第二個正方形的每個角上，寫下較小正方形最近角上數字的差值：7-5 = 2、9-5 = 4、9-2 = 7 以及 7-2 = 5。

重複此過程，直到你得到一組不改變的四個數字。

1. 規律是什麼？
2. 嘗試使用另外一組四個起始數字執行相同的過程。你是否最終得到相同的規律？
3. 解釋發生了什麼。

1.44 （二進位制數系統）

1.45 （十六進位制數系統）