代數/第 17 章/軌跡

代數

距離公式

代數 第 17 章：圓錐曲線 第 2 節：點的軌跡

圓錐曲線

17.2：點的軌跡

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到目前為止，我們求解或繪製的所有方程都只考慮了一個變數。

軌跡

軌跡（複數：軌跡）是一組滿足一組條件的點。通常的結果是一條曲線或一個曲面。

在現實生活中，你可能聽說過物體的位置。事實上，"位置"一詞就來自"軌跡"本身。軌跡定義了物體在平面或空間中的位置。

右邊的照片說明了一組點（或軌跡），這些點是車頭燈在所有車輛都沿著道路路徑行駛的條件下所描繪的。在這個比喻中

點集：照片中所見的車頭燈的位置
條件：車輛必須遵循的道路
軌跡：道路中所描繪的車道

不幸的是，沒有通用的方程來尋找軌跡。然而，通常使用以下步驟來確定軌跡的方程。

1. 繪製一個顯示給定資訊的圖
2. 找到幾個滿足規則或條件的點
3. 使用所找到的點繪製一條曲線或直線
4. 寫出方程

等距

例 17.1：找出點 $P$ 的軌跡，使得 $P$ 到兩條座標軸的距離相等。 x 軸上的一點有座標 $(x,0)$，y 軸上的一點有座標 $(0,y)$。

練習題

問題 17.1（等距） 找出點 $P$ 的軌跡，使得 $P$ 到 $(5,-1)$ 和 $(3,-8)$ 的距離相等。

問題 17.2（救護車站） 兩家醫院分別位於 (5, -1) 和 (2, 8) 點。要建造一個救護車站，使其到兩家醫院的距離相等。確定到兩家醫院距離相等的點的軌跡。

問題 17.3（圓的軌跡）

a. 驗證點 $(-3,4)$ 和 $(4,3)$ 位於圓 $x^{2}+y^{2}=25$ 上。
b. 確定到點 $(-3,4)$ 和 $(4,3)$ 距離相等的點的軌跡。
c. 確定圓心與到點 $(-3,4)$ 和 $(4,3)$ 距離相等的點的軌跡之間的關係。

問題 17.4 (杆) 一根長度為 $l$ 的杆的兩端分別在 x 軸和 y 軸上滑動。求杆的中點的軌跡。

問題 4 的解答

$4x^{2}+4y^{2}=l^{2}$

問題 17.5 (第三個頂點) 三角形的兩個頂點位於 $(-3,5)$ 和 $(1,2)$。求第三個頂點的軌跡，使得三角形的面積為 10 平方單位。

問題 17.6 (從有序對獲得軌跡) 繪製有序對的集合。然後寫出所有點可能滿足的軌跡方程。

a. $\{(-5,0),(5,0),(0,-5),(0,5)\}$
b. $\{(0,0),(-1,1),(1,1),(-2,4),(2,4),(-3,9),(3,9)\}$
c. $\{(0,0),(1,1),(4,2),(9,3),(16,4),(25,5),(36,6)\}$

問題 17.7 (從直線獲得軌跡) 確定一個或多個方程來表示到每對直線距離相等的點的軌跡。

a. $y=x$ 和 $y=-x$
b. $y=2x+2$ 和 $y=-2x+2$
c. $y=2x$ 和 $y=0.5x$

問題 17.8 (從根式獲得軌跡) 確定一個或多個方程來表示到每對圖距離相等的點的軌跡。

a. $y=-{\sqrt {x}}$ 和 $y={\sqrt {x}}$
b. $y={\sqrt {x}}+4$ 和 $y=-{\sqrt {x}}-6$

問題 17.9 (花壇) 噴泉的外緣是距離中心 2 米的點的軌跡。花壇的外緣是距離噴泉中心 3 米的點的軌跡。噴泉和花壇之間沒有空隙。畫出花壇，並計算其面積。

問題 17.10 (描述軌跡) 描述並列出平面上距離原點 13 個單位，距離 y 軸 12 個單位的點的軌跡。

問題 17.11 (距離的三倍) 求一個點到原點的距離是其到 x 軸距離的三倍的軌跡方程。