代數/第 17 章/勾股定理

代數

------------------------	代數第 17 章：圓錐曲線第一節：距離公式	點的軌跡

17.1：距離公式

勾股定理概述

數學的第一個表達更接近幾何而不是代數，而希臘人是第一個為了數學本身而研究數學的人，這導致了廣義理論和證明。一位名叫歐幾里得的希臘數學家寫了一本書叫做"幾何原本"，它將幾何呈現為從 5 個公理或給定和 5 個關於邏輯的“常識”斷言推匯出的邏輯體系。

在歐幾里得的幾何原本中，命題 47 是勾股定理，它指出“在任何直角三角形中，斜邊（與直角相對的邊）的邊長的平方等於兩條直角邊（在直角處相交的兩條邊）的邊長的平方之和”。這句話很長，但正如我們將在下面的代數中看到的那樣，我們可以將其寫成 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 。右邊的動畫顯示了歐幾里得證明命題 47 的動畫。

勾股定理上的文章展示了幾種其他證明勾股定理的方法，包括未來美國總統詹姆斯·加菲爾德在 1876 年發表的一種方法！

符合定理的整數被稱為勾股數，我們很快就會討論。一塊泥板表明，勾股數在近 4000 年前就被記錄下來，比畢達哥拉斯早 1000 年。一位考古學家推測，這塊泥板可能是一名老師給學生布置的一組習題。

距離公式 - 在代數中使用勾股定理

假設在一個座標平面上有兩個點。您將如何找到它們之間的距離而不需要尺子？提示：畫一個直角三角形。看看你能否在偷看之前自己弄清楚！

假設您有兩個點，(x₁, y₁) 和 (x₂, y₂)，並且假設它們之間直線的長度為 d。您可以透過注意到，您可以在任何兩個點之間遵循以下路徑來獲得一個直角三角形：從點 1 開始，改變 x（保持 y 不變），直到您正好位於點 2 的上方或下方，然後改變 y 並保持 x 不變，直到您到達點 2。

要做
這可以使用圖表來指出這裡所說的話

如果您遵循此路徑，您繪製的第一段的長度為 $|x_{2}-x_{1}|$ ，第二段的長度為 $|y_{2}-y_{1}|$ 。此外，由於這兩條線段形成直角三角形，因此勾股定理適用，我們可以寫成 $(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}=d^{2}\,$ 或者，解出 d，

$d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$

這個公式被稱為距離公式。

另一個公式是（並且更簡單）

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

勾股數

如果存在三個正整數是直角三角形的邊（較小的兩個整數的平方和等於最大整數的平方），那麼這三個數被稱為勾股數。常見的勾股數包括

3-4-5

5-12-13

7-24-25

8-15-17

12-35-37

20-21-29

注意：如果三個數 a-b-c 是一個勾股數，那麼這個勾股數的所有後續倍數都將滿足勾股定理。

勾股數及其倍數
乘數	3-4-5	5-12-13	7-24-25	8-15-17	12-35-37	20-21-29
X 2	6-8-10	10-24-26	14-48-50	16-30-34	24-70-74	40-42-58
X 3	9-12-15	15-36-39	21-72-75	24-45-51	36-105-111	60-63-87
X 4	12-16-20	20-48-52	28-96-100	32-60-68	48-140-148	80-84-116
X 5	15-20-25	25-60-65	35-120-125	40-75-85	60-175-185	100-105-145
等等。	...	...	...	...	...	...

並非所有數字都能構成勾股數。事實上，如果你在笛卡爾座標系上連線一個正方形的角，你就畫了一條具有無理數長度的線。 $1^{2}+1^{2}=2$ 所以這條線的長度是 ${\sqrt {2}}$ 。據說證明了這一點的希臘數學家希帕索斯被扔下船溺死，因為他證明了 ${\sqrt {2}}$ 是無理數。

維基百科關於勾股數的文章展示了對勾股數的數學研究。如果你點選文章中的連結，你會發現現代數學家仍在發現它們的新模式。即使你不認為勾股數本身很有趣，也值得記住第一組：3-4-5。你很可能在標準化測試或文字題中遇到這些數字。離開學校後，你會發現機會利用這些長度來快速檢驗你所看到的角度是否為直角。