代數/第 2 章/練習

與第 2 章概念相關的練習集。

此集合包含 50 道練習（包括概念性問題）

概念性問題

Q2.1（它們一樣嗎？） “比一個數少 3” 與 “3 與一個數的差” 是同一個意思嗎？ “比一個數多 3” 與 “3 與一個數的和” 呢？ 在兩種情況下解釋你的推理。

Q2.2（係數） 表示式 x + 2 是否有 x 的係數？ 表示式 yx + 2 呢，其中 y 可以取任何數？ 如果有，請在每個表示式中確定 x 的係數？ 如果沒有，請解釋你的推理。

Q2.3（數學表示式的解剖） 看看下面的表示式。 定義所有簡化表示式的項、變數、係數和常數。

$3x^{2}+4y+y+6$

Q2.4（常數和變數） 字母將用於表示不同的數字。 確定以下數量是否應該被稱為變數或常數。

$a.\ T$，你家外面的溫度。
$b.\ F$，普通人手中手指的數量。
$c.\ P$，一加侖汽油的價格。
$d.\ L$，樹上的葉子數量。
$e.\ S$，矩形的邊數。
$f.\ I$，一英尺的英寸數。
$g.\ Y$，自上次登月以來的年數。
$h.\ D$，一盒未開封的一打甜甜圈中的甜甜圈數量。
$i.\ W$，計算機螢幕上開啟的視窗數量。
$j.\ R$，你在本書中嘗試的題目數量。
Q2.5（博物館門票） 進入博物館的總費用為 25a + 10c + 8s，其中 a 為成人，c 為兒童，s 為老年人。 每個成人、兒童和老年人分別需要支付多少費用才能入場？ 如果一個家庭有兩名成人、三個孩子和一名老年人想進入博物館，他們總共需要支付多少錢？

Q2.6（零作為常數項？） 像 x + y 這樣的表示式可以改寫為 x + y + 0。 如果是這樣，是否一定正確地認為零是任何給定表示式的常數項？

Q2.7（數學中的語法） 如果數學表示式類似於語言中的“名詞”，那麼數學表示式的哪一部分類似於“動詞”？ 哪一部分類似於“連詞”？

Q2.8（識別數學語句） 以下哪些句子是陳述？

Q2.9 對於以下問題，說明給定的陳述是相同還是不同。

Q2.10（集合的集合） 給出三個元素是集合的集合的例子。

Q2.11（集合的集合的集合） 給出一個元素是集合的集合的集合的例子。

Q2.12（關聯數字型別） 參考第 2.4 節中的數字型別部分。 建立一個韋恩圖，顯示列出的每種數字型別如何相互關聯。

練習

第 2.1 節

2.1（寫/簡化表示式） 寫一個最能表示以下內容的表示式。 儘可能簡化。

2.2（計算表示式） 針對給定的變數值計算每個表示式。

$a.\ x+3,\ x=3$	$b.\ 10x-3,\ x=3$	$c.\ 4a-2,\ a=9$	$d.\ {\frac {-n-1}{3}},\ n=11$	$e.\ {\frac {-b-2}{7}},\ b=5$
$f.\$	$g.\$	$h.\$	$i.\$	$j.\$
$k.\$	$l.\$	$m.\$	$n.\$	$o.\$
$p.\$	$q.\$	$r.\$	$s.\$	$t.\$

第二節 2.2

2.3 (編寫數學句子) 編寫一個最能代表以下內容的數學句子。

第二節 2.3

2.4 (元素或否?) 判斷數字 10 是否是以下集合的元素。

1. $\{4,5,6,...,15\}$
2. $\{1,2,3,4,5,...\}$
3. $\{1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},...\}$
4. $\{x|x\ is\ a\ whole\ number\ greater\ than\ 11\}$
5. $\{x|x\ is\ a\ whole\ even\ number\}$
6. 集合 $C$ 由合數組成

2.5 (列舉法) 以下每個集合都是使用列舉法定義的。

i. $\{1,4,9,16,25...\}$
ii. $\{0,4,8,...,96,100\}$
iii. $\{3,9,15,21,27...\}$
iv. $\{...,-\pi ^{4},-\pi ^{3},-\pi ^{2},-\pi ,1\}$

1. 確定以上集合中可能出現的另外四個元素。
2. 使用集合生成式描述以上集合。

2.6 (汽車分類) 構造一個維恩圖，說明以下集合在包含美國製造的汽車的全集中的可能並集和交集。

$F:Fourdoor,S:Sunroof,P:Powersteering$

2.7 (集合運算 I) 令 $U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13\}$, $M=\{0,2,4,6,8\}$, $N=\{1,3,5,7,9,11,13\}$, $Q=\{0,2,4,6,8,10,12\}$, 以及 $R=\{0,1,2,3,4\}$.

使用這些集合來查詢以下內容。

2.8 (集合操作 II) 令 $U=\{copper,sodium,nitrogen,potassium,uranium,oxygen,zinc\}$，$A=\{copper,sodium,zinc\}$，$B=\{sodium,nitrogen,potassium\}$，$C=\{oxygen\}$。

使用這些集合來查詢以下內容。

2.9 (集合操作 III) 若 $U=\{x|0<x<12\}$，$M=\{x|1<x<9\}$，以及 $N=\{x|0<x<5\}$。

使用這些集合來查詢以下內容。

2.10 (集合操作 IV) 假設 $A$，$B$，和 $C$ 是全集 $U$ 的子集。

使用韋恩圖，陰影表示以下區域。

2.11 (下標的使用) 對於一個整數 $j$，$x_{j}=(-1)^{j}$。求 $x_{0}$，$x_{1}$，和 $x_{183}$ 的值。

2.12 (數字列表) 請參考下面的數字集合，並使用它來回答以下問題。

$x=\{5,11,14,9,3,25,16,8,1,11,68,63,43,99,35,100\}$

1. 在該集合中，哪個數字表示 $x_{3}$？
2. 在該集合中，哪個數字表示 $x_{10}$？
3. 列表中哪些符號可以用來表示數字 25？
4. 列表中哪些符號可以用來表示數字 11？
5. 在 $x_{n}$ 中，$n$ 代表什麼數字？
6. $x_{n}$ 取什麼值？

第 2.4 節

2.13（數字分類） 確定每個數字屬於哪些數字集。

$a.\ 12$	$b.\ -7$	$c.\ 0$	$d.\ {\frac {1}{7}}$	$e.\ {\frac {16}{13}}$
$f.\ -8.08$	$g.\ -{\frac {24}{365}}$	$h.\ 0.1231231234...$	$i.\ (10)^{2}$	$j.\ 0.5{\overline {678}}$
$k.\ 2.0{\overline {505}}$	$l.\ {\frac {1}{2}}$	$m.\ {\sqrt {17}}$	$n.\ {\frac {37}{0}}$	$o.\ \pi$
$p.\ {\sqrt {9}}$	$q.\ {\sqrt {\frac {1}{36}}}$	$r.\ -5000$	$s.\ -{\sqrt {36}}$	$t.\ 5+{\sqrt {2}}$
$u.\ {\sqrt {\frac {294}{6}}}$	$v.\ 1.23456789101112...$	$w.\ {\frac {\sqrt {100-81}}{\sqrt {76}}}$	$x.\ (10.25)^{2}$	$y.\ {\sqrt {0.33}}$

推理與應用

2.14 （前沿） 一根 12 英尺長的繩子被剪成兩段不同長度的繩子。用一個變數來表示這兩段繩子的長度。

2.15 （玩球！） 籃球的直徑大約是棒球的 4 倍。用棒球的直徑來表示籃球的直徑。

2.16 （零錢） 假設你的口袋裡有 d 個一角硬幣和 n 個五分硬幣。寫一個表示式來表示你口袋裡的總金額。用這個表示式來計算一下，如果你有 9 個一角硬幣和 7 個五分硬幣，你會有多少錢。

2.17 （溫度單位 I） 公式

$C={\frac {5}{9}}(F-32)$

表示華氏溫度 F 與攝氏溫度 C 之間的關係。使用此方程將 $50^{\circ }F$，$86^{\circ }F$，$32^{\circ }F$，$100^{\circ }F$，以及 $-50^{\circ }F$ 轉換為它們在攝氏溫標上的等效溫度。

2.18 （溫度單位 II） 公式

$K=C+273.15$

表示式攝氏溫度C與開爾文溫度K之間的關係。使用此方程式將$-273.15^{\circ }C$，$30^{\circ }C$，以及$100^{\circ }F$ 轉換為開爾文尺度上的等效溫度。

2.19 (糖的化學式) 葡萄糖（糖）的化學式為$C_{6}H_{12}O_{6}$。這個公式意味著每個葡萄糖分子中每 6 個碳原子和 6 個氧原子有 12 個氫原子。如果x表示一磅糖中氧原子的數量，請表示相同一磅糖中氫原子的數量。

2.20 (積木) 看看下面積木的排列。第 17 個圖中將出現多少個積木？

2.21 (多邊形中的三角形) 在三角形中，有三條邊。我們顯然可以觀察到，它包含一個三角形。在四邊形中，有四條邊。我們可以觀察到，透過沿著它的角劃分，可以從中得出兩個非重疊的三角形。在五邊形中，有五條邊。我們可以觀察到，透過沿著它的角劃分，可以從中得出三個非重疊的三角形。使用此資訊，您可以透過沿著它的角劃分從十邊形（10 邊形）中得出多少個非重疊的三角形？

2.22 (連續數字的乘積) 如果兩個數字在數字順序中相互跟隨，則它們是連續的。例如，數字 4 和 5 是連續的，因為 5 在 4 之後。兩個這樣的數字的乘積的代數表示是什麼？

2.23 (奇數) 寫一個表示式來表示第 n 個奇數O。（第一個奇數是 1，第二個奇數是 3，依此類推）之後，使用此表示式來求出第 143 個奇數。

2.24 (魔術技巧) 選擇任何數字。在該數字上加 3，然後將結果乘以 2。減去所選數字，然後減去 4，然後再次減去所選數字。你最終得到的數字是 2，對吧？為什麼這個技巧有效？

2.25 (指數爆炸) 對於以下各項，確定第一個大於 1 的整數 x，其中第二個表示式大於第一個。

$a.\ x^{3},\ 3^{x}$
$b.\ x^{4},\ 4^{x}$
$c.\ x^{5},\ 5^{x}$
$c.\ x^{6},\ 6^{x}$

2.26 ($x^{n}$ vs. $n^{x}$) 基於您對問題 2.15 的回答，提出一個關於兩個表示式$x^{n}$ 和 $n^{x}$，其中 n = 3, 4, 5, 6, 7, .... 並且 x 是大於 1 的整數。

2.27 (減重積分) 一些減重計劃為準備好的或包裝好的食物分配積分，這些積分考慮了食物的脂肪F、碳水化合物C、蛋白質P和纖維B含量（以克為單位）。給定食品的積分值可以用以下表達式表示

$W={\frac {F}{4}}+{\frac {C}{9}}+{\frac {P}{10}}-{\frac {B}{12}}$

確定左側營養成分表中一serving食品的積分值。

2.28 (調整後的貧困線) 1999 年至 2013 年期間，單身人士的調整後的貧困線可以透過以下公式近似計算

$y=2.719x^{2}+196.1x+8718$

其中 x=0 對應於 1999 年，x=1 對應於 2000 年，依此類推，y 是平均調整後的貧困線。根據該模型，2005 年的平均調整後的貧困線是多少？2012 年呢？

2.29 (擺的週期) 擺擺動的週期 t（以秒為單位）由下式給出

$t=2\pi {\sqrt {\frac {L}{32}}}$

其中 L 是擺的長度（以英尺為單位）。求一個 8 英尺長的擺的週期。

問題 2.20 (長度的變化) 考慮以下三角形，其邊長為s。如果我們將邊的長度增加 5，求出三角形的周長。如果我們將邊的長度翻倍，求出三角形的周長。

2.30（金屬線） 將長度為x的金屬線彎成正方形。用x表示正方形邊長。

2.31（矩形面積） 矩形的面積為 24 $in.^{2}$，長為b英寸。表示式 ${\frac {24}{b}}$ 表示什麼？它的單位是什麼？表示式 $2(b+{\frac {24}{b}})$ 表示什麼量？

2.32（直角三角形面積） 推匯出一個表示式來表示底為b，高為h的直角三角形的面積。（提示：將矩形沿對角線平分。）

2.33（菜園） 一個矩形的菜園長12米，寬20米。菜園周圍有一條寬度為w的礫石路。
a. 寫一個表示式來計算礫石路的外部周長。
b. 如果你測得w為3米，那麼路的外部周長是多少？

2.34（賽道） 奧運賽道由兩條直邊組成，每條長度為84.39米，以及兩條半圓形彎道組成，半徑為36.5米，如圖所示。賽道寬度為w。
a. 寫一個表示式來計算賽道的外部周長。（記住圓周長為 $2\pi r$）
b. 如果你測得賽道寬度為1.22，那麼路的外部周長是多少？

2.35（稜柱體積） 稜柱 由兩個平行且形狀相同的平行多邊形面構成。一個形狀的體積是指它所佔據的空間大小。例如，下面的矩形稜柱。

推匯出一個表示式來表示以下稜柱的體積，然後計算它的體積。

2.36（平方差）

$x$	$y$	$(x+y)(x-y)$	$x^{2}-y^{2}$

a. 為x和y選擇兩個不同的值，然後填寫上表的第一行。

b. 比較你對這兩個表示式的結果。你認為部分a的結果告訴你關於平方差的什麼？

c. 填寫表中x和y不同值的剩餘行，包括負數。你認為部分(b)中的猜想是正確的嗎？解釋一下。

2.37（不等式） 確定$x$和$y$上的哪些符號值將使以下語句成立。

$a.\ xy>0$	$b.\ x^{2}y>0$	$c.\ {\frac {x}{y}}<0$
$d.\ -{\frac {x}{y}}<0$	$e.\ -{\frac {x^{2}}{y}}>0$	$f.\ {\frac {y^{3}}{x^{2}}}>0$

2.38 (平均) 使用下標符號寫出表示$n$ 個數字平均值的表示式。