代數/等比數列 (GP)

在數學中，等比數列，也稱為等比序列，是一個數字序列，其中第一個數字之後的每個數字都是透過將前一個數字乘以一個固定的非零數字（稱為公比）得到的。例如，序列 2, 6, 18, 54, ... 是一個公比為 3 的等比數列。類似地，10, 5, 2.5, 1.25, ... 是一個公比為 1/2 的等比序列。

示例 1
等比數列 (GP) 的一個典型例子是人口增長。假設人口每 15 年翻一番。如果 2012 年人口為 70 億，那麼 2027 年人口將為 140 億。

由於我們知道人口每 15 年翻一番，這意味著從 2012 年的 70 億到 2027 年（15 年後）是 140 億，因為：$7\cdot 2=14.$

那麼 2042 年的人口是多少？如果你說是 280 億，那麼你是正確的。那麼你是怎麼得到 28 的呢？你將 14 乘以 **公比** 2 來得到 28。因此，為了得到 GP 的下一項，你總是將公比乘以當前項，為了得到前一項，你總是將當前項除以公比。

一個更通用的公式來獲得 GP 的第 n 項是：$a_{n}=a_{1}r^{n-1}$

其中 $a_{1}$ 是 GP 的首項，r 是 GP 的 **公比**。
因此，GP 的一般項是
$a_{1},\;a_{1}r,\;a_{1}r^{2},\;\dots \;a_{1}r^{n-1}$

求等比數列前 n 項的和

當需要求首項為 $a_{1}$ 的 GP 的前 n 項之和時，使用
如果 **|r| < 1**，則使用：$s_{n}=a_{1}{\frac {(1-r^{n})}{(1-r)}}$

如果 **|r| > 1**，則使用：$s_{n}=a_{1}{\frac {(r^{n}-1)}{(r-1)}}$

備註

1. 公比 **|r| > 1** 的無窮等比數列的和本質上是無窮大。

1. 公比 **|r| < 1** 的無窮等比數列的和為 $s_{n}={\frac {a_{1}}{(1-r)}}$