代數/函式的逆

本章介紹函式時，將其描述為一種特殊的關係。關係僅僅是兩個數字之間的連線。另一方面，函式只有一個數字與另一個數字的連線。例如，絕對值是一個函式，因為任何數字的絕對值都只對映到一個數字。另一方面，開方運算是一種關係。 ${\sqrt {x}}^{2}$ 可以對 $x$ 或 $-x$ 為真。

我們將加法的單位元定義為 0，乘法的單位元定義為 1。這是因為將零加到一個數字不會改變該數字，或者將一個數字乘以 1 不會改變該數字。我們將加法的逆定義為減法。這是因為 a - a = 0。乘法的逆是除法（除了 0），因為 a / a = 1。我們將函式的逆定義為函式 g，使得 g(f(x)) = x。

例如，平方函式的逆是平方根函式，對於整數而言。也就是說，對於零和非負有理數，${\sqrt {x}}^{2}=x$。但這對於實數並不成立。對於實數，${\sqrt {x}}^{2}=x\ or-x$。

在解釋關係的定義域和值域時，我們將垂直線測試定義為：在笛卡爾座標系中，如果我們讓 x 軸表示函式的定義域，y 軸表示函式的值域，那麼如果圖形在圖上每一點處都被垂直線最多交叉一次，那麼這種關係就是函式。垂直線測試是一種非正式的方式，可以檢視關係是否為函式。我們也可以用它來判斷函式是否有逆。例如，如果我們令 $y=x^{2}$，我們可以從其圖形看到它是一個函式。另一方面，如果我們繪製 $y={\sqrt {x}}$ 的圖形，我們可以看到垂直線將穿過圖形兩次，對於除了 0 以外的每個值。