代數/迭代

代數

迭代

迭代是一種透過反覆猜測來計算或尋找函式值的方法，每次猜測都越來越接近正確答案。這在計算機程式中很常見，在這種情況下，這種型別的評估比直接代數操作更容易。它也用於純數學，其中問題的答案要麼非常難以找到，要麼不可能使用代數操作找到。迭代的主要問題是它需要很多步驟才能得到一個足夠精確的計算值。然而，由於現代計算機的速度，它仍然是一個非常有效的計算方程值的方法。

何時使用迭代

迭代可以用於需要在計算機程式中評估的所有方程。由於實現這種型別的評估所需的程式碼很簡單，以及計算機可以計算結果的準確性和速度，它是計算機評估數學表示式的最有效方法之一。

迭代也可以用於無法使用傳統數學技術求解的公式。例如，對於方程 $27=e^{x}+x$ ，沒有已知的方法可以直接求解 x。然而，使用迭代，很容易計算出正確答案 3.17（精確到小數點後兩位）。

第三，迭代作為問題正確解的指南很有用。例如，要評估方程 $x^{3}-3*x^{2}-10*x+24$ 中的所有 x 值，必須首先使用餘數定理和試錯法，或者涉及該方程根的和、積以及積的和的複雜聯立方程來找到一個根。透過使用迭代，可以很容易地找到一個根，從而使最終解的計算變得更容易。

最後，迭代可用於為數學問題的解提供估計值。使用迭代，簡單的算術錯誤通常可以檢測到，因為計算結果與預期結果不匹配（參見數學估計技術）。

何時不使用迭代

迭代不能用於證明數學方程。這是因為迭代永遠不會提供問題的精確答案，而只是越來越準確的估計值。

此外，有時迭代方法無法計算出方程的正確答案。這將在後面討論。

如果被測試的方程使用僅對整數值有效的函式，迭代將不起作用。例如，包含階乘的方程將不起作用。

最後，對於具有多個根的方程，迭代方法只會找到一個（根）。

如何使用迭代

一旦理解了基礎知識，迭代就非常容易使用。請注意，需要基本的函式符號才能理解此解釋。

將方程的所有元素移到方程的一側，使方程的一側等於 0，並將另一側稱為 f(x)
繪製 f(x) 的粗略圖，找到 f(x) = 0 的 x 值的估計值。將此值稱為 x1。
選擇 x1 左側和右側的值，並找到 f(x2) 和 f(x3)。
如果 f(x2) 或 f(x3) 與初始猜測的評估值符號不同。
1. 如果 f(x2) 或 f(x3) 比 f(x1) 更接近 0，則選擇 x2 或 x3 作為新的 x1，並從步驟 3 重新開始。
2. 否則，嘗試初始猜測左側和右側的不同值。
如果 f(x2) 或 f(x3) 與 f(x1) 符號相反
1. 取 xA = x1，xB = x2 或 x3。
2. 從 xA 和 xB 之間取一個新的猜測 xC（即 $xC=(xA+xB)/2$ ）。例如 xC = 3.5
3. 如果 f(xC) 與 f(xA) 符號相反
  1. 使 xB = xC
  2. 從步驟 5b 重複，直到達到所需的精度
4. 如果 f(xC) 與 f(xB) 符號相反
  1. 使 xA = xC
  2. 從步驟 5b 重複，直到達到所需的精度

以下是一個此過程在操作中的示例

$x^{2}+lnx+3^{x}=87$ 變為
$f(x)=x^{2}+lnx+3^{x}-87=0$ （注意一側等於 0）。
顯然 $3^{x}$ 必須小於 87，才能使 f(x) 等於 0。 $3^{4}=81$ 將是一個很好的近似值，因為 81 幾乎抵消了 -87。因此 x1 = 4。
f(x1) = 11.38
嘗試 x2 = 3... $f(3)=-49.90$
x3 = 5... $f(5)=182.61$
沒有必要。
f(x1) 與 f(x2) 符號相反
a) xA = 4，xB = 3
f(xA) = 11.38

f(xB) = -49.90

b) xC = (4 + 3) / 2 = 3.5
f(xC) = f(3.5) = -26.73

c) f(xC) 與 f(xA) 符號相反
i) xB = 3.5
f(xB) = -26.73

ii) 返回步驟 5b

5  b) xC = (3.5 + 3) / 2 = 3.25
      f(xC) = -39.72
   c) f(xC) is opposite sign to f(xA)
      i) xB = 3.25
         Take xB as answer

這就是全部了。看起來好像需要在紙上做很多工作，但通常一旦你理解了迭代方法，就可以跳過大部分工作。